环是配备了加法和乘法两种运算的集合，其运算规律推广了整数的算术。加法构成阿贝尔群，乘法满足结合律，且乘法对加法满足分配律。乘法不一定满足交换律，非零元素也不一定有乘法逆元。环是抽象代数的基本研究对象，将数系、多项式表达式和矩阵纳入同一框架。关于环是否必须具有乘法单位元，不同文献采用不同约定；本词条除非另有说明，均假定环具有乘法单位元。（math.ucla.edu）
定义与约定
环 (R) 具有两种二元运算，通常记作 (a+b) 和 (ab)，对任意两个元素都有定义。环的公理要求：
- **加法构成阿贝尔群：**加法满足结合律和交换律；存在加法单位元 (0)；每个元素 (a) 都有加法逆元 (-a)。
- 乘法结合律：((ab)c=a(bc))。
- 分配律：(a(b+c)=ab+ac)，且 ((a+b)c=ac+bc)。
- **乘法单位元：**存在元素 (1)，满足 (1a=a1=a)。
因此，环的加法结构是阿贝尔群，这是群论中的一个核心概念。由这些公理可推出 (0a=a0=0) 和 ((-a)b=-(ab))。若对所有元素都有 (ab=ba)，则称该环为交换环。（math.ucla.edu）
有些作者不要求单位元公理，而另行区分“有单位元的环”或“含幺环”。按照这种约定，偶数集合 (2\mathbb Z) 在通常的运算下构成一个没有乘法单位元的环。零环仅含一个元素，满足含幺环的公理，其中 (0=1)；域和整环的定义则排除零环。是否要求子环与母环具有相同的单位元，同样取决于所采用的约定。（faculty.niu.edu）
例子
整数集合 (\mathbb Z) 构成交换环，但整数除以非零整数，结果通常不一定仍在 (\mathbb Z) 中。有理数、实数和复数都构成环，并且具有更强的结构，即域：每个非零元素都有乘法逆元。（joemileti.site）
以下几种构造给出了其他重要例子：
- 剩余类环：(\mathbb Z/n\mathbb Z) 由整数的同余类组成，其运算按照模算术进行。
- 多项式环：(R[x]) 由以 (x) 为不定元、系数属于 (R) 的多项式组成。若 (R) 是交换环，则 (R[x]) 也是交换环。
- 矩阵环：(M_n(R)) 由方矩阵组成，采用矩阵加法和矩阵乘法。在非零含幺环上，当 (n\geq2) 时，矩阵乘法一般不满足交换律。
- **函数环：**固定集合上的实值函数，在逐点加法和逐点乘法下构成交换环。
这些例子表明，环的元素不一定是数，环中的乘法也不一定类似于通常的数值乘法。（math.ucla.edu）
可逆元、零因子与整环
**可逆元**是具有双侧乘法逆元的元素 (u)：存在某个 (v)，使得 (uv=vu=1)。所有可逆元在乘法下构成一个群。在 (\mathbb Z) 中，仅有的可逆元是 (1) 和 (-1)。（joemileti.site）
在交换环中，**零因子**是满足以下条件的非零元素 (a)：存在非零元素 (b)，使得 (ab=0)。例如，在 (\mathbb Z/6\mathbb Z) 中，(2) 和 (3) 所在的同余类均非零，但它们的乘积为零。因此，即使两个因子都不为零，其乘积也可能为零。（joemileti.site）
**整环**是没有零因子的非零交换含幺环。在整环中，非零元素的乘法满足消去律。每个域都是整环，但 (\mathbb Z) 表明，反过来并不成立。每个有限整环都是域；因此，当 (n\geq2) 时，(\mathbb Z/n\mathbb Z) 是域，当且仅当 (n) 是素数。每个整环都可以嵌入一个分式域，这推广了由整数构造有理数的方法。（faculty.niu.edu）
理想、商环与同态
理想是一个加法子群，并且与环中元素相乘后仍落在该子群中。在非交换环中，必须区分左理想、右理想和双侧理想。给定双侧理想 (I)，可以构造商环 (R/I)，其元素是加法陪集。商环的运算为 [ (a+I)+(b+I)=(a+b)+I,\qquad (a+I)(b+I)=ab+I. ] 理想对乘法的吸收性质保证了这些运算不依赖于代表元的选择。（crypto.stanford.edu）
环同态保持加法和乘法；在采用含幺约定时，还须保持 (1)。环同态的核是双侧理想。第一同构定理给出如下同构： [ R/\ker f\cong f(R). ] 因此，商环描述了保持结构的映射将哪些元素视为相同。（crypto.stanford.edu）
对于交换含幺环，真理想 (I) 是**素理想，当且仅当 (R/I) 是整环；它是极大理想**，当且仅当 (R/I) 是域。（faculty.niu.edu）
结构理论与几何
环论通过模推广了线性代数。模类似于向量空间，但其标量来自环而非域。如果交换环的每个理想都能由有限个元素生成，就称该环为**诺特环**；等价地，其每条理想升链最终都会稳定。希尔伯特基定理指出，只要 (R) 是诺特环，(R[x]) 就也是诺特环，从而为多项式方程提供了有限性结论。（jmilne.org）
在代数几何中，商环 (k[x_1,\ldots,x_n]/I) 描述了满足 (I) 中关系的多项式表达式。交换环的素理想还组成该环的**谱**，这是一个赋有扎里斯基拓扑的空间。这一构造是概形理论的基础，将环的代数性质与空间的几何性质联系起来。（jmilne.org）