有限域 · aiwiki.page

有限域是只含有限个元素的域：其中定义了加法、减法、乘法以及除以任意非零元素的除法，且这些运算满足域公理。有限域也称为伽罗瓦域，含有 $q$ 个元素的域通常记作 $\mathbb F_q$ 或 $\mathrm{GF}(q)$ 。有限域的分类定理指出， $q$ 必须是素数幂；对于每个素数幂，在同构意义下恰有一个有限域。有限域为代数运算提供了一个有限的环境，同时保留了对非零元素进行除法的能力。(kconrad.math.uconn.edu)

特征与可能的大小

有限域的特征是使下式成立的最小正整数 $p$ ：

\underbrace{1+\cdots+1}_{p\text{ 项}}=0.

这个整数必须是素数。如果它是合数，例如 $p=ab$ ，其中 $1<a,b<p$ ，那么非零元素 $a\cdot1$ 和 $b\cdot1$ 的乘积就会等于零，而这在域中是不可能的。 $1$ 的整数倍构成该域的素子域，它与 $\mathbb F_p$ 同构。(math.mit.edu)

每个有限域都是这个子域上的向量空间。若其维数为 $n$ ，则选定一组基后，每个元素都可由 $\mathbb F_p$ 中的 $n$ 个系数唯一表示。因此，其基数（也称为阶）为 $p^n$ 。所以，存在阶为 $4$ 、 $8$ 、 $9$ 和 $25$ 的域，但不存在阶为 $6$ 或 $10$ 的域。指数 $n$ 就是该域相对于 $\mathbb F_p$ 的域扩张次数。(math.mit.edu)

构造与示例

对于素数 $p$ ，最简单的构造是

\mathbb F_p=\mathbb Z/p\mathbb Z.

它的元素是整数的剩余类，运算按模算术进行。例如，在 $\mathbb F_5$ 中， $3+4=2$ ，且 $2\cdot3=1$ ，因此 $3$ 是 $2$ 的乘法逆元。相比之下，以合数为模的算术得到的是环，而不是域：模 $6$ 时，非零剩余类 $2$ 和 $3$ 的乘积为零。(kconrad.math.uconn.edu)

可以用多项式构造更大的域。在 $\mathbb F_p$ 上选取一个 $n$ 次不可约多项式 $f(x)$ ，即它不能在该域上分解为两个次数均为正的多项式的乘积。此时，商环

\mathbb F_p[x]/(f(x))

就是一个含有 $p^n$ 个元素的域。它的每个元素都有唯一的次数小于 $n$ 的多项式代表元。加法按对应系数相加；乘法则先进行多项式乘法，再对 $f(x)$ 取模。不可约性保证了每个非零剩余类都有逆元。(math.mit.edu)

例如， $x^2+x+1$ 在 $\mathbb F_2$ 上不可约。用 $\alpha$ 表示 $x$ 所在的剩余类，所得的域为

\mathbb F_4=\{0,1,\alpha,\alpha+1\}, \qquad \alpha^2=\alpha+1.

因此， $\alpha(\alpha+1)=1$ 。这个域并不是模 $4$ 的算术：在 $\mathbb F_4$ 中， $1+1=0$ ，而模 $4$ 时， $1+1=2$ 。次数相同的不同不可约多项式，可以给出彼此同构的域的不同表示。(maths.dur.ac.uk)

乘法结构与多项式恒等式

$\mathbb F_q$ 的非零元素在乘法下构成一个阶为 $q-1$ 的循环群。因此，存在一个本原元 $g$ ，使每个非零元素都是 $g$ 的幂。这种乘法结构不同于其加法结构；后者是 $\mathbb F_p$ 上的 $n$ 维向量空间的加法结构。(kconrad.math.uconn.edu)

每个非零元素 $a\in\mathbb F_q$ 都满足 $a^{q-1}=1$ ，而所有元素都满足 $a^q=a$ 。因此，

x^q-x=\prod_{a\in\mathbb F_q}(x-a).

反过来， $x^{p^n}-x$ 在其分裂域中的根构成一个恰含 $p^n$ 个元素的域。这证明了有限域的存在性；分裂域的唯一性则证明了有限域在同构意义下的唯一性。该多项式的形式导数为 $-1$ ，所以它的根互不相同。(jmilne.org)

必须区分多项式表达式与多项式函数。非零多项式 $x^q-x$ 在 $\mathbb F_q$ 上诱导的函数是零函数。更一般地，从 $\mathbb F_q$ 到自身的每个函数，都有唯一一个次数小于 $q$ 的多项式表示，可通过插值得到。(kconrad.math.uconn.edu)

弗罗贝尼乌斯自同构与子域

弗罗贝尼乌斯自同构

\sigma(a)=a^p

在特征为 $p$ 的域中保持加法和乘法。在 $\mathbb F_{p^n}$ 上，它的阶为 $n$ ；每个逐点固定 $\mathbb F_p$ 的自同构都是它的某个幂。因此，这个扩张是伽罗瓦扩张，其自同构群是循环群，为伽罗瓦理论提供了一个具体实例。(jmilne.org)

子域完全由整除关系决定： $\mathbb F_{p^n}$ 含有一个具有 $p^m$ 个元素的子域，当且仅当 $m$ 整除 $n$ ，而且这个子域是唯一的。它由满足 $a^{p^m}=a$ 的元素组成。例如， $\mathbb F_{64}$ 有阶为 $2$ 、 $4$ 和 $8$ 的真子域，但没有阶为 $16$ 的子域。(jmilne.org)

计算与应用

有限域算术采用精确的有限表示。在基于多项式的实现中，系数对 $p$ 取模，乘积则对选定的不可约多项式取模。在特征为 $2$ 的情况下，系数相加对应于比特上的异或运算。逆元可用多项式的扩展欧几里得算法计算。(math.mit.edu)

有限域是代数纠错码的基础；这类编码利用多项式关系或线性代数关系来组织符号和码字。这些关系引入了冗余，从而能够检测并纠正传输错误。(math.mit.edu)

在密码学中，高级加密标准将字节视为 $\mathbb F_{2^8}$ 的元素，并采用以下多项式进行模约简：

x^8+x^4+x^3+x+1.

其代换变换先求乘法逆元（零单独处理），再进行仿射变换；其列混合变换也使用这个域中的算术运算。(nvlpubs.nist.gov)