群论是抽象代数的一个分支，研究对象是群，即配备一种运算的集合，这种运算满足关于复合、单位元和逆元的严格规则。无论群的元素是数、置换、矩阵还是几何变换，群都为描述对称性提供了统一的语言。群论研究群的内部结构、群之间的关系，以及群在其他对象上的作用，将代数与几何学及数学的许多其他领域联系起来。(math.mit.edu)
定义与基本例子
群由一个集合 (G) 和一种二元运算组成，该运算通常写作乘法。定义群的公理如下：
- 封闭性： 若 (a,b\in G)，则 (ab) 也属于 (G)。
- 结合律： ((ab)c=a(bc))。
- 单位元： 存在一个元素 (e)，满足 (ea=ae=a)。
- 逆元： 每个元素 (a) 都有一个元素 (a^{-1})，满足 (aa^{-1}=a^{-1}a=e)。
也可以将运算定义为映射 (G\times G\to G)，从而把封闭性纳入运算的定义之中。单位元以及每个元素的逆元都是唯一的。群不要求满足交换律；若对任意元素都有 (ab=ba)，则称其为阿贝尔群。(math.mit.edu)
整数在加法运算下构成一个群，其单位元为 (0)，元素 (a) 的逆元为 (-a)。在模算术中，模正整数 (n) 的剩余类构成一个含有 (n) 个元素的加法群。这两个例子都是循环群，也就是说，从一个生成元出发，反复施行群运算就能得到群中的每个元素。每个循环群都是阿贝尔群，但并非每个阿贝尔群都是循环群。(ocw.mit.edu)
对称群 (S_n) 由 (n) 个对象的所有置换组成，以函数复合作为运算，共有 (n!) 个元素。正 (n) 边形的二面体群包含它的 (n) 个旋转和 (n) 个反射。在一个域（数学）上，固定阶数的可逆方矩阵在矩阵乘法下构成一个群。这些例子表明，群运算不必类似于通常的数值乘法。(jmilne.org)
子群、商群与结构映射
子群是一个子集，它在原群的运算下自身也构成群。子群 (H) 的左陪集 (gH={gh:h\in H}) 将原群划分为互不相交的部分。对于有限群，这一划分给出拉格朗日定理：
[ |G|=[G:H]|H|, ]
其中，([G:H]) 是左陪集的个数。因此，子群的阶整除原群的阶。(math.mit.edu)
正规子群 (N) 对每个 (g\in G) 都满足 (gNg^{-1}=N)。它的陪集构成商群 (G/N)，其乘法定义为 ((gN)(hN)=ghN)。正规性保证这一运算不依赖于所选的陪集代表元。(math.mit.edu)
群同态是保持乘法的映射 (\varphi:G\to K)，即满足 (\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b))。它的核由所有被映射到单位元的元素组成，是一个正规子群。双射同态称为同构，它表明两个群虽然描述不同，却具有相同的代数结构。第一同构定理指出，(G/\ker\varphi) 与 (\varphi) 的像同构。(jmilne.org)
群作用与有限群的结构
群作用为每个群元素指定集合 (X) 上的一个变换，并满足 (e\cdot x=x) 和 ((gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x))。一个元素的轨道由通过群作用从它出发能够到达的所有点组成；它的稳定子由所有保持它不变的群元素组成。对于有限群，轨道—稳定子公式给出了这些量之间的关系：
[ |\operatorname{Orb}(x)|=\frac{|G|}{|\operatorname{Stab}(x)|}. ]
群作用将抽象群与具体的对称性联系起来，也为计数论证提供了工具。(jmilne.org)
西罗定理通过阶为素数幂的子群，对有限群的结构施加约束。若 (|G|=p^am)，其中 (p) 为素数且 (p\nmid m)，则存在阶为 (p^a) 的子群。这些子群彼此共轭，其个数整除 (m)，并且模 (p) 余 (1)。这些限制往往可以用来判断一个子群是否必为正规子群。(crypto.stanford.edu)
单群是非平凡群，且没有非平凡的真正规子群。可解群具有一个有限子群列，其中每个子群都是下一个子群的正规子群，且相邻子群形成的商群均为阿贝尔群。这些概念从不同角度描述了群能否分解以及如何分解。(math.mit.edu)
表示与连续对称性
表示论研究从群到向量空间上可逆线性变换群的同态，将群结构转化为线性代数问题。不可约表示没有非零的真不变子空间；将表示分解为不可约分量，可以揭示对称性如何作用于系统的不同部分。(math.mit.edu)
李群既是群，也是光滑流形，而且乘法与求逆运算都是光滑的。例子包括旋转群，以及实数或复数上的可逆矩阵群。与李群对应的李代数描述了单位元附近的无穷小结构。这为研究连续对称性提供了工具，与有限群所描述的离散对称性相互补充。(ocw.mit.edu)
联系与应用
在伽罗瓦理论中，域的自同构群刻画了多项式各根之间的关系。在特征为零的域上，一个多项式可用根式求解，当且仅当它的伽罗瓦群是可解群。这解释了为什么不存在能够求解所有五次多项式方程的根式公式。(jmilne.org)
在晶体学中，群用于系统描述保持晶体结构不变的旋转、反射和平移。三维周期结构共有 230 种晶体空间群类型。在量子力学中，表示描述了状态在对称操作下如何变换；李群则为物理理论中的连续对称性提供了数学框架。(iucr.org)