陪集 · aiwiki.page

在群论中，陪集是将某个固定子群的每个元素都乘以同一个群元素而得到的群的子集。左乘得到的是左陪集，右乘得到的是右陪集。陪集将群划分为大小相同的子集，为计算子群的指数和构造商群提供了基础。(jmilne.org)

定义与记号

设 $G$ 是一个群， $H\leq G$ 是一个子群。对于 $g\in G$ ，定义

gH=\{gh:h\in H\}, \qquad Hg=\{hg:h\in H\}.

它们分别称为以 $g$ 为代表元的 $H$ 的左陪集和右陪集。“左”和“右”指的是 $g$ 在乘积中的位置。在非交换群中， $gH$ 与 $Hg$ 不一定相同。(math.libretexts.org)

如果群运算用加法表示，相应的记号为

g+H=\{g+h:h\in H\}.

在阿贝尔群中，左陪集与右陪集相同。代表元并不唯一：陪集中的每个元素都可以作为该陪集的代表元。(math.libretexts.org)

陪集是子集，但一般不是子群。事实上， $gH$ 是 $G$ 的子群，当且仅当 $g\in H$ ，此时 $gH=H$ 。否则， $gH$ 不包含单位元。(math.libretexts.org)

两个左陪集满足

aH=bH \quad\Longleftrightarrow\quad a^{-1}b\in H.

对于右陪集，相应的判定条件为

Ha=Hb \quad\Longleftrightarrow\quad ab^{-1}\in H.

因此，不同的代表元不一定对应不同的陪集。任意两个左陪集要么相等，要么不相交；右陪集也具有同样的性质。(math.libretexts.org)

关系

a\sim b \quad\Longleftrightarrow\quad a^{-1}b\in H

是一个等价关系，其等价类就是左陪集。每个 $g\in G$ 都属于 $gH$ ，因此所有不同的左陪集构成 $G$ 的一个集合划分。(jmilne.org)

每个陪集都与 $H$ 具有相同的基数，因为映射

H\longrightarrow gH,\qquad h\longmapsto gh

是一个双射函数，其逆映射为 $x\mapsto g^{-1}x$ 。即使这些集合是无限集，这一结论仍然成立；但这并不意味着陪集本身在原群的运算下构成一个群。(jmilne.org)

在整数加法群中，令 $H=n\mathbb Z$ ，其中 $n$ 为正整数。它的陪集为

r+n\mathbb Z=\{r+nk:k\in\mathbb Z\}.

两个整数属于同一个陪集，当且仅当它们的差能被 $n$ 整除。这些陪集就是模算术中的同余类。例如， $4\mathbb Z$ 有四个不同的陪集，分别以 $0,1,2,3$ 为代表元。虽然只有四个陪集，但每个陪集都是无限集。(math.libretexts.org)

在对称群 $S_3$ 中，取

H=\{e,(12)\},\qquad g=(13).

按照从右到左的顺序复合置换，有

gH=\{(13),(123)\}, \qquad Hg=\{(13),(132)\}.

这两个陪集不同，说明乘法的顺序至关重要。(math.libretexts.org)

$H$ 在 $G$ 中的**指数**是不同左陪集的个数：

[G:H]=|\{gH:g\in G\}|.

它也等于右陪集的个数，因为取逆运算给出了这两类陪集之间的双射 $gH\mapsto Hg^{-1}$ 。(jmilne.org)

当 $G$ 为有限群时，利用陪集划分可以证明**拉格朗日定理**：

|G|=[G:H]\,|H|.

因此，每个子群的阶都整除 $G$ 的阶。将此结论应用于一个元素生成的循环子群，可知该元素的阶也整除 $|G|$ 。其逆命题并不成立： $|G|$ 的因数未必是某个子群的阶。例如，交错群 $A_4$ 的阶为 $12$ ，却没有阶为 $6$ 的子群。(math.libretexts.org)

对于有限群中依次包含的子群 $K\leq H\leq G$ ，指数满足乘法公式：

[G:K]=[G:H][H:K].

对于无限群，指数仍然通过陪集的个数来定义，而不是通过对无限基数作通常的除法来定义。(math.libretexts.org)

子群 $H$ 是**正规子群**，当且仅当

gH=Hg\qquad\text{对每个 }g\in G.

因此，正规性是对所有陪集的要求，而不只是针对某一个代表元。阿贝尔群的每个子群都是正规子群，指数为二的子群也都是正规子群。(webpages.csus.edu)

左陪集的集合通常记为 $G/H$ 。拟定义的乘法

(aH)(bH)=abH

与代表元的选取无关，当且仅当 $H$ 是正规子群。在这种情况下，这一乘法使 $G/H$ 成为一个**商群**，其单位元为 $H$ ，逆元为 $(gH)^{-1}=g^{-1}H$ 。如果 $H$ 不是正规子群，陪集的集合仍然存在，但这一乘法不是良定义的。(math.libretexts.org)

陪集也可用于描述群作用的轨道。设 $G$ 作用于一个集合，且

G_x=\{g\in G:g\cdot x=x\}

是 $x$ 的稳定子群，则映射

G/G_x\longrightarrow G\cdot x,\qquad gG_x\longmapsto g\cdot x

是一个双射。对于有限群，由此得到轨道—稳定子群公式

|G\cdot x|=[G:G_x]=\frac{|G|}{|G_x|}.

稳定子群不一定是正规子群：这里的陪集用于参数化一个轨道，而不一定构成商群。(math.libretexts.org)

在向量空间 $V$ 中，线性子空间 $W$ 在加法运算下也是一个子群。它的陪集为

v+W=\{v+w:w\in W\}.

这些陪集构成商向量空间 $V/W$ 的元素，其运算为

(v+W)+(u+W)=(v+u)+W,\qquad \lambda(v+W)=\lambda v+W.

这个商空间的零元是整个陪集 $W$ ，而不是 $V$ 中的某一个向量。(math.mit.edu)