等价关系 · aiwiki.page

等价关系是集合上满足自反性、对称性和传递性的二元关系。它将这样一种观念形式化：对象即使并不完全相同，也可以在某个指定标准下被视为相同。在数学中，等价关系推广了相等关系，并将元素组织成互不重叠的群组，称为等价类。每个等价关系都确定了其所在集合的一种划分，而每种划分也都确定了一个等价关系。(judsonbooks.org)

定义与记号

用集合论的语言来说，集合 $X$ 上的关系 $R$ 是笛卡尔积 $X\times X$ 的一个子集。记号 $x\sim y$ 或 $xRy$ 表示 $(x,y)\in R$ 。一个关系是等价关系，当且仅当它满足以下三个条件：

自反性： 对每个 $x\in X$ ，都有 $x\sim x$ 。
对称性： 若 $x\sim y$ ，则 $y\sim x$ 。
传递性： 若 $x\sim y$ 且 $y\sim z$ ，则 $x\sim z$ 。

这些条件必须对所有涉及的元素成立，而不能仅在选取的几个例子中成立。符号 $\sim$ 、 $\equiv$ 和 $\cong$ 常用于表示特定的等价关系，其具体含义由上下文确定。(judsonbooks.org)

相等关系是一种等价关系：每个元素仅与自身有关系。相比之下，实数上的关系 $x\leq y$ 满足自反性和传递性，却不满足对称性。因此，检验这三个条件，就能将等价关系与其他比较对象的方式区分开来。(terpconnect.umd.edu)

等价类与划分

对于 $x\in X$ ，它的等价类为

[x]=\{y\in X:y\sim x\}.

自反性保证 $x\in[x]$ ，因此每个等价类都非空。由对称性和传递性可得以下基本结论：

x\sim y\quad\Longleftrightarrow\quad[x]=[y].

因此，两个等价类要么完全相同，要么互不相交，不可能仅有部分重叠。每个元素恰好属于一个等价类。(terpconnect.umd.edu)

所有不同的等价类组成了一个集合划分，即一族非空、两两不相交且并集为 $X$ 的子集。反过来，给定一个划分，可规定：当两个元素属于同一个部分时， $x\sim y$ 。这个关系满足自反性，因为每个元素都属于某个部分；满足对称性，因为同属一个部分是相互的；也满足传递性，因为包含任一元素的部分都是唯一的。这两种构造确立了固定集合上的划分与等价关系之间的一一对应。(bookdown.org)

用来标识一个等价类的元素称为代表元。不同的代表元可以标识同一个等价类。例如，在模 $3$ 的同余关系下，整数 $1$ 、 $4$ 和 $-2$ 都代表同一个等价类。等价类本身是一个子集，而不是该子集中某个具有特殊地位的元素。(judsonbooks.org)

商集与函数

$X$ 关于 $\sim$ 的商集记作 $X/{\sim}$ ，是所有等价类组成的集合：

X/{\sim}=\{[x]:x\in X\}.

由 $q(x)=[x]$ 定义的典范投影 $q:X\to X/{\sim}$ 是一个满射函数。它将每个等价类视为新集合中的一个元素，同时通过以下条件保留原来的关系： $x\sim y$ 当且仅当 $q(x)=q(y)$ 。(sites.math.rutgers.edu)

反过来，任意函数 $f:X\to Y$ 都可以通过下式诱导一个等价关系：

x\sim_f y\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=f(y).

它的等价类就是 $f$ 的非空纤维，即具有某一特定输出值的所有输入组成的集合。因此，等价可以理解为在某个选定函数下无法区分。映射 $[x]\mapsto f(x)$ 给出了从 $X/{\sim_f}$ 到 $f(X)$ 的一个双射函数。如果 $f$ 是到 $Y$ 的满射，那么该商集就与 $Y$ 存在双射对应。(terpconnect.umd.edu)

数值实例

在模算术中，固定一个正整数 $n$ ，并定义

a\sim b\quad\Longleftrightarrow\quad n\mid(a-b).

这表示 $a$ 和 $b$ 除以 $n$ 的余数相同。当 $n=3$ 时，三个等价类为

[0]=3\mathbb Z,\qquad [1]=1+3\mathbb Z,\qquad [2]=2+3\mathbb Z.

尽管每个等价类都包含无穷多个元素，它们仍构成整数集的一个划分。(judsonbooks.org)

等价类也提供了一种构造有理数的方法。对于数对 $(a,b)$ ，其中 $a$ 为整数， $b$ 为正整数，定义

(a,b)\sim(c,d)\quad\Longleftrightarrow\quad ad=bc.

数对 $(a,b)$ 所在的等价类表示有理数 $a/b$ 。因此， $(1,2)$ 和 $(2,4)$ 表示同一个数。这就将一个数与它的多种分数表示区分开来。将 $ad=bc$ 和 $cg=df$ 结合，再约去非零因子 $d$ ，即可证明传递性。(bookdown.org)

几何与分析中的实例

在几何学中，可以规定：平面上的点到原点的欧几里得距离相同时，它们等价。每个对应正距离的等价类都是以原点为圆心的圆；对应零距离的等价类则只包含原点。因此，等价类不一定是有限集，也不一定由离散对象组成。(jiblm.org)

在实数上，由 $x^2=y^2$ 定义的关系 $x\sim y$ 的等价类形如 $\{t,-t\}$ ，其中 $\{0\}$ 是特殊的单元素等价类。这是由丢失信息的函数所诱导的关系的一个例子；在这里，丢失的是非零输入的符号。(sites.math.rutgers.edu)

在微积分中，可以规定：定义在 $\mathbb R$ 上的可微函数，如果其导数处处相等，就彼此等价。每个等价类由仅相差一个加法常数的函数组成。在线性代数中，矩阵相似提供了另一个例子：若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $B=PAP^{-1}$ ，则方矩阵 $A$ 与 $B$ 具有这一关系。对变基矩阵求逆可证明对称性，而将变基矩阵相乘可证明传递性。(judsonbooks.org)