商空间（拓扑学）

商空间是将由等价关系联系起来的点视为同一点而构造出的拓扑空间。它的底集由等价类组成，其拓扑则由原空间的拓扑决定。这一构造为粘合边、将子集压缩为一点等几何操作赋予了精确的含义。它属于拓扑学，是研究通过等同操作拼合而成的空间的基础。(pi.math.cornell.edu)

定义

设 $X$ 是拓扑空间， $\sim$ 是 $X$ 上的等价关系。其商集为

X/{\sim}=\{[x]:x\in X\},

其中， $x$ 的等价类为

[x]=\{y\in X:y\sim x\}.

自然投影

q:X\longrightarrow X/{\sim},\qquad q(x)=[x],

是一个满射函数。商拓扑定义为

U\subseteq X/{\sim}\text{ 是开集} \quad\Longleftrightarrow\quad q^{-1}(U)\text{ 在 }X\text{ 中是开集}.

因此，判断商空间中的集合是否为开集，只需考察它在原空间中的原像是否为开集。(maths.dur.ac.uk)

这一定义确实给出了一个拓扑，因为原像运算保持任意并和有限交，而空集与整个商集的原像分别为空集和 $X$ 。它是使 $q$ 成为连续函数的最细拓扑，也就是包含最多开集的拓扑。任何使 $q$ 连续的拓扑，都只能包含那些原像为开集的集合。(pi.math.cornell.edu)

等价地，

F\subseteq X/{\sim}\text{ 是闭集} \quad\Longleftrightarrow\quad q^{-1}(F)\text{ 在 }X\text{ 中是闭集}.

这里的“闭集”是指相应空间中的闭集。(math.ucla.edu)

商映射与饱和集

更一般地，拓扑空间之间的满射 $p:X\to Y$ 称为商映射，如果

U\text{ 在 }Y\text{ 中是开集} \quad\Longleftrightarrow\quad p^{-1}(U)\text{ 在 }X\text{ 中是开集}.

任何这样的映射都将 $Y$ 实现为把具有相同像的点等同后得到的商空间。仅有连续性只能保证上述等价关系的一个方向，因此连续满射未必是商映射。(pi.math.cornell.edu)

若子集 $A\subseteq X$ 是若干完整等价类的并，则称 $A$ 为饱和集；等价地，

q^{-1}(q(A))=A.

由定义可知，商空间中的开集恰好对应于 $X$ 中的饱和开集。 $X$ 中任意开集的像未必是开集，因为它的饱和化可能不是开集。这也解释了为什么商映射未必是开映射。(jde27.uk)

以下是一些实用的充分条件：

连续且满射的开映射是商映射。
连续且满射的闭映射是商映射。
从紧空间到豪斯多夫空间的连续满射是商映射。

对于最后一个条件，定义域中的闭子集是紧的，其像也是紧的，因而在豪斯多夫陪域中是闭集。(pi.math.cornell.edu)

泛性质

商空间的核心泛性质描述的是从商空间出发的映射。设 $f:X\to Z$ 连续，且在每个等价类上取常值：

x\sim y\implies f(x)=f(y).

则存在唯一的连续映射

\bar f:X/{\sim}\longrightarrow Z

使得

f=\bar f\circ q, \qquad \bar f([x])=f(x).

在每个等价类上取常值保证了这一公式的良定义性，而 $q$ 的满射性保证了唯一性。(math.toronto.edu)

连续性由下式得出：对于每个开集 $V\subseteq Z$ ，都有

q^{-1}\bigl(\bar f^{-1}(V)\bigr)=f^{-1}(V).

更一般地，函数 $g:X/{\sim}\to Z$ 连续，当且仅当 $g\circ q$ 连续。这通常称为映射下降性质： $X$ 上的连续构造能够下降到商空间，当且仅当它与所作的等同相容。(ma.imperial.ac.uk)

几何例子

由区间得到圆

将 $[0,1]$ 的两个端点等同，并让每个内部点各自构成一个等价类。所得空间与圆 $S^1$ 同胚。映射

t\longmapsto e^{2\pi i t}

恰好只将 $0$ 和 $1$ 等同，而且由于其定义域是紧的、陪域是豪斯多夫的，它是商映射。注意，这个映射并不是开映射： $0$ 的一个足够小的相对邻域映成一段圆弧，而这段圆弧不包含被等同的点在圆上的任何完整邻域。(ma.imperial.ac.uk)

由正方形得到曲面

从 $[0,1]^2$ 出发，规定

(0,t)\sim(1,t),\qquad (s,0)\sim(s,1).

所得商空间是环面，与 $S^1\times S^1$ 同胚。这些等同也使四个顶点归入同一个等价类。如果只将左右两条边按反向参数粘合，即

(0,t)\sim(1,1-t),

则得到莫比乌斯带。若将一对边的粘合方向反转，同时粘合另一对边，则得到克莱因瓶。等价关系不仅包含明确列出的点对，还包含由传递性必然产生的所有等同。(math.ucla.edu)

压缩子空间

对于非空子集 $A\subseteq X$ ，记号 $X/A$ 通常表示将整个 $A$ 等同为一个点，而 $A$ 外的各点仍彼此不同。一个标准例子是

D^n/S^{n-1}\cong S^n:

将闭 $n$ 维球的边界压缩为一点，便得到 $n$ 维球面。这是一种拓扑上的等同，而不是删除边界。(math.ucla.edu)

轨道空间

$X$ 上的群作用通过规定同一轨道上的两点等价，定义了一个等价关系。所得商空间 $X/G$ 称为轨道空间。例如，实数轴上的整数平移给出

\mathbb R/\mathbb Z\cong S^1.

这里的 $\mathbb R/\mathbb Z$ 带有商拓扑，而不只是一个由陪集组成的集合。(jde27.uk)

当每个群元素都以同胚作用时，轨道投影是开映射。事实上，对于开集 $U\subseteq X$ ，

q^{-1}(q(U))=\bigcup_{g\in G}g(U),

这是开集。这一额外性质使轨道投影区别于一般的商映射。适当群作用下的商空间也可用于构造流形，不过任意群作用未必都能产生流形。(jde27.uk)

拓扑性质的保持与失效

紧性、连通性和道路连通性都能从 $X$ 传递到其商空间，因为投影是连续满射。反之则不成立：任何非空空间都可以压缩为一个点。(pmelvin.blogs.brynmawr.edu)

分离性质则需要更谨慎地处理。商空间是 $T_1$ 空间，即每个单点集都是闭集，当且仅当每个等价类在 $X$ 中都是闭集。对 $\{[x]\}$ 应用闭集判据即可得到这一结论。然而，仅有各等价类为闭集，并不能保证商空间是豪斯多夫空间。(math.ucla.edu)

一个标准反例是双原点直线。取两个互不相交的 $\mathbb R$ 副本，将对应的非零点等同，但保留两个不同的原点。每个等价类都是闭集。然而，两个原点的任意邻域都会在附近的非零点处相交，所以商空间不是豪斯多夫空间，尽管原来的不交并是豪斯多夫空间。因此，即使是度量空间的商空间，也未必可度量化。(ma.imperial.ac.uk)

对于紧豪斯多夫空间 $X$ ，有一个更强的判据。定义

R=\{(x,y)\in X\times X:x\sim y\},

其中 $X\times X$ 赋予积拓扑。则

X/{\sim}\text{ 是豪斯多夫空间} \quad\Longleftrightarrow\quad R\text{ 在 }X\times X\text{ 中是闭集}.

在这些条件下，商投影也是闭映射。整个关系的闭性比每个单独等价类的闭性更强。(paperman.name)

在代数拓扑中的作用

在代数拓扑中，商空间构造可以通过各个组成部分及其粘合规则来描述空间。CW 复形是通过沿边界粘合圆盘构造的。如果 $A$ 是 CW 复形 $X$ 的一个子复形，那么将 $A$ 压缩为一点，就会在 $X/A$ 上得到一个自然的 CW 结构： $A$ 外的胞腔保留下来，而 $A$ 成为一个新的顶点。(pi.math.cornell.edu)

其他标准构造包括锥

CX=(X\times[0,1])/(X\times\{0\}),

以及悬挂；后者通过将 $X\times\{0\}$ 和 $X\times\{1\}$ 分别压缩为两个不同的点得到。特别地， $S^n$ 的悬挂是 $S^{n+1}$ 。这些构造依赖于商拓扑：仅凭等同后得到的点集，并不能确定所得空间的连续性或邻域结构。(pi.math.cornell.edu)

参考来源

Topology Notespi.math.cornell.edu
MAT 327: Introduction to Topologymath.toronto.edu
Point-Set Topology — Chapter 2 Continuous functionsmath.ucla.edu
Algebraic Topology Lecture Notesma.imperial.ac.uk
Topology III Michaelmas 2020maths.dur.ac.uk
03 Quotient topology: group actionsjde27.uk
Math 396. Quotients by group actionsmath.stanford.edu
Topology Lecture Notespmelvin.blogs.brynmawr.edu
The q-Theory of Finite Semigroupspaperman.name
Algebraic Topologypi.math.cornell.edu