满射函数 · aiwiki.page

满射函数，简称满射，是输出覆盖整个指定目标集合的函数。若 $f:A\to B$ ，则满射性意味着：对于 $B$ 中的每个元素，都至少存在一个 $A$ 中的元素 $x$ ，使其等于 $f(x)$ 。多个输入可以产生相同的输出；满射性要求的是覆盖全部目标元素，而不是输入的唯一性。它是集合论中用于对函数进行分类的基本性质之一。(jirka.org)

定义及其对陪域的依赖

对于函数 $f:A\to B$ ， $A$ 是其定义域， $B$ 是其陪域。 $A$ 的像为

f(A)=\{f(x):x\in A\}.

函数为满射，当且仅当 $f(A)=B$ 。等价地，

\forall y\in B\;\exists x\in A:\quad f(x)=y.

量词的顺序很重要：合适的输入可以随所选的输出而变化。(jirka.org)

因此，满射性取决于陪域，而不只是函数的表达式。例如， $x\mapsto x^2$ 作为从实数集到 $\mathbb R$ 的函数，并不是满射，因为输出不可能是负数。同一对应规则却可以定义一个满射 $\mathbb R\to[0,\infty)$ 。更一般地，任何函数只要将陪域限制为它的像，而不改变定义域或函数值，就会成为满射。(richardhammack.github.io)

对于 $y\in B$ ，集合

f^{-1}(\{y\})=\{x\in A:f(x)=y\}

称为 $y$ 上的纤维。满射性恰好意味着每个纤维都非空。这种原像记号并不要求反函数存在。(ocw.mit.edu)

示例与证明方法

以下例子说明了集合的选择如何影响满射性：

$f:\mathbb R\to\mathbb R$ ， $f(x)=x^3$ ，是满射：对于任意 $y$ ，输入 $x=\sqrt[3]{y}$ 都满足 $f(x)=y$ 。
$f:\mathbb R\to\mathbb R$ ， $f(x)=2x+1$ ，是满射，因为 $x=(y-1)/2$ 可以产生任意指定的 $y$ 。
$f:\mathbb Z\to\mathbb Z$ ， $f(n)=2n$ ，不是满射，因为输出不可能是奇整数。若将陪域改为偶整数集 $2\mathbb Z$ ，它就是满射。

这些结论都可以通过直接应用定义，并在指定的定义域中求解输出方程而得出。(richardhammack.github.io)

满射性的标准数学证明从任取一个 $y\in B$ 开始，构造一个 $x\in A$ ，并验证 $f(x)=y$ 。证明必须同时说明所构造的输入属于定义域，并且确实产生所需的输出。要证明函数不是满射，只需在陪域中找出一个没有原像的元素作为反例。(richardhammack.github.io)

对于有限集合，箭头图提供了一种直接的检验方法：陪域中的每个元素都必须至少有一个箭头指向它。当陪域是无限集合时，仅检查部分选定的输出并不能证明满射性。(richardhammack.github.io)

与单射性及基数的关系

单射函数将不同的输入映射到不同的输出。双射函数既是单射又是满射，因此陪域中的每个元素都恰好有一个原像。由此可见，满射性表达的是输入的存在性，而单射性表达的是输入存在时的唯一性。一个函数存在双侧逆函数，当且仅当它是双射。(homepages.ucl.ac.uk)

对于有限集合，存在满射 $A\to B$ 必须满足

|A|\geq |B|.

如果两个集合具有相同的有限基数，那么它们之间的函数是满射，当且仅当它是单射。这种等价关系对无限集合不成立。在自然数集 $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$ 上，后继函数 $n\mapsto n+1$ 是单射，但其输出不包含 $0$ 。反过来，将 $0$ 映射到 $0$ 、将 $n\geq1$ 映射到 $n-1$ 的函数是满射，却将 $0$ 和 $1$ 都映射到 $0$ 。(richardhammack.github.io)

复合与右逆

满射性在函数复合下保持不变。若 $f:A\to B$ 和 $g:B\to C$ 都是满射，则 $g\circ f$ 也是满射：先选择一个能产生所需 $c$ 的 $b$ ，再选择一个能产生 $b$ 的 $a$ 。如果 $g\circ f$ 是满射，那么 $g$ 必须是满射，但 $f$ 不一定是。(richardhammack.github.io)

$f$ 的右逆，也称截面，是满足

f\circ s=\operatorname{id}_B

的函数 $s:B\to A$ 。右逆的存在意味着 $f$ 是满射，因为 $s(y)$ 为每个 $y$ 提供了一个原像。反过来，构造截面需要从每个纤维中选出一个元素。在集合论中，“每个满射都有右逆”这一命题与选择公理等价。如果陪域有限，就只需要进行有限次选择，因此这种情形不需要选择公理。(webhomes.maths.ed.ac.uk)

线性代数与商集构造

在线性代数中，线性映射 $T:V\to W$ 是满射，当且仅当它的像是整个目标向量空间。对于一个 $m\times n$ 矩阵 $M$ ，以 $\mathbb R^m$ 为陪域的映射 $x\mapsto Mx$ 是满射，当且仅当其列向量张成 $\mathbb R^m$ ；等价地， $M$ 的矩阵的秩为 $m$ 。因此，线性方程组 $Mx=b$ 对每个 $b$ 都有解。对于维数相同的有限维空间，秩—零化度定理表明满射性与单射性等价。(math.mit.edu)

满射也可以用来描述将元素视为相同的过程。在 $A$ 上定义一个等价关系：当 $f(x)=f(x')$ 时，令 $x\sim x'$ 。其等价类就是非空纤维。投影 $A\to A/{\sim}$ 是满射，而诱导映射

A/{\sim}\longrightarrow f(A),\qquad [x]\longmapsto f(x)

是双射。当 $f$ 是满射时， $f(A)=B$ ：将输出相同的输入视为等价后，所得等价类与陪域中的元素恰好一一对应。(whitman.edu)