函数的定义域是使函数有定义的所有输入所组成的集合。在记号 (f:A\to B) 中，定义域为 (A)：(A) 中的每个元素都必须恰好对应 (B) 中的一个输出。定义域可以由数、有序元组或其他数学对象组成。它既不同于允许输出的集合，也不同于实际取得的输出的集合。因此，要确定一个函数，仅有代数公式还不够，还必须明确它的输入集合。(jirilebl.github.io)
形式定义与相关集合
在集合论中，函数 (f:A\to B) 可以表示为笛卡尔积 (A\times B) 的一个子集，其中每个 (x\in A) 都恰好对应一个有序对 ((x,y))。这个有序对集合就是函数的函数图像。定义域可以从图像中恢复： [ \operatorname{dom}(f)={x:\text{存在 }y\text{ 使得 }(x,y)\in f}. ] 集合 (B) 是函数的陪域，而函数的像（也常称为值域）为 [ f(A)={f(x):x\in A}. ] 像是陪域的子集，但不一定等于陪域。(jirilebl.github.io)
例如，函数 (f:\mathbb R\to\mathbb R)，(f(x)=x^2) 的定义域和陪域都是全体实数，但它的像为 ([0,\infty))。输入与输出的作用不同：负数可以作为输入，尽管函数不会产生负数输出。一个函数是满射函数，当且仅当它的像等于陪域。(jirilebl.github.io)
指定的定义域与自然定义域
定义域可以明确指定。在 (\mathbb R) 上定义的 (f(x)=x^2) 与在 ([0,\infty)) 上定义的 (g(x)=x^2)，虽然使用相同的公式，却是不同的函数。同样，一个仅在整数上定义的函数，不会仅仅因为其公式能对任意实数求值，就自动接受这些实数作为输入。哪些输入属于函数的定义域，取决于所声明的定义域。(jirilebl.github.io)
当给出一个初等公式却未明确指定定义域时，通常约定采用它的自然定义域，即所采用的数系中使该表达式有定义的最大子集。对于实值公式，常见的限制如下：
- 多项式的自然定义域为 (\mathbb R)。
- 商式须排除使分母为零的输入。
- 偶次根式要求被开方数非负。
- 实数范围内的对数要求真数严格大于零。(openstax.org)
因此，(1/(x-2)) 的定义域为 (\mathbb R\setminus{2})，而 (\sqrt{x-2}) 的定义域为 ([2,\infty))。这些结论都是针对实数定义域而言的：若将所采用的数系改为复数，可进行的运算就会改变，而且可能需要作出额外选择，例如选定对数的一个分支。因此，“自然定义域”只有在特定的数学背景下才有明确意义。(openstax.org)
表示方法与图形解释
定义域可以用列举元素、集合描述法或区间表示法来表示。例如， [ {x\in\mathbb R:x\ge2}=[2,\infty). ] 方括号表示包含有限端点，圆括号表示不包含端点。一个被排除的点可能将定义域分成多个区间： [ \mathbb R\setminus{2}=(-\infty,2)\cup(2,\infty). ] 在区间表示法中，无穷符号一侧总是使用圆括号，因为无穷不是实数端点。(openstax.org)
对于一元实函数的图像，定义域由图像上所有点的横坐标组成。因此，空点和未包含的端点都会影响定义域。不过，所显示的绘图窗口可能只呈现图像的一部分，不一定能据此确定函数的完整定义域。(openstax.org)
运算与复合
对于定义域分别为 (A) 和 (C) 的实值函数，逐点定义的和、差、积的定义域均为 (A\cap C)。它们的商的定义域为 [ {x\in A\cap C:g(x)\ne0}. ] 化简公式并不会使原先被排除的输入重新纳入定义域。例如， [ \frac{x^2-1}{x-1}=x+1\qquad(x\ne1). ] 这个商式仍然排除 (1)；在整个 (\mathbb R) 上都有定义的多项式 (x+1) 是原函数的延拓，而不是与原函数相同的函数。(openstax.org)
对于函数复合，内层函数的输出必须是外层函数所允许的输入： [ \operatorname{dom}(g\circ f) ={x\in\operatorname{dom}(f):f(x)\in\operatorname{dom}(g)}. ] 例如，若 (f(x)=x-3)，(g(u)=\sqrt{u})，则 (g(f(x))=\sqrt{x-3}) 有定义，当且仅当 (x\ge3)。仅将原有定义域取交集，无法表达对中间输出所要求的条件。(openstax.org)
函数的限制与反函数
对函数作限制，是指只保留它在定义域某个选定子集上的对应关系。这可能改变函数是否为单射函数。平方函数在 (\mathbb R) 上不是单射，因为 (x) 与 (-x) 的平方相同，但它在 ([0,\infty)) 上是单射。(openstax.org)
将单射函数视为从其定义域到其像的映射时，其反函数的定义域就是原函数的像。因此，将 (x\mapsto x^2) 限制在 ([0,\infty)) 上后，它的反函数为 (y\mapsto\sqrt y)，定义域也为 ([0,\infty))。所以，为原本不是一一对应的函数构造反函数时，限制定义域至关重要。(openstax.org)
多元函数的定义域与实际背景中的定义域
多元函数以元组作为输入，其定义域通常是欧几里得空间 (\mathbb R^n) 的一个子集。例如， [ h(x,y)=\sqrt{9-x^2-y^2} ] 的定义域为 [ {(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2\le9}, ] 即半径为 (3) 的闭圆盘，它是一个闭集。两个变量必须共同满足这一约束；分别列出各个坐标的允许取值，并不足以准确描述定义域。(openstax.org)
在应用中，实际背景可能施加公式本身所不要求的额外限制。圆柱体积公式 (V(r,h)=\pi r^2h) 对每一对实数在代数上都有意义，但若将 (r) 和 (h) 分别解释为非退化圆柱的半径和高，就必须要求 (r>0) 且 (h>0)。此时，定义域体现的是物理上允许的输入，而不只是能够进行算术运算的输入。(openstax.org)