函数图像是一个函数的所有输入—输出对组成的集合。对于一元实值函数，这些有序对表示为坐标平面上的点 ((x,f(x)))。所得图像可以是曲线、孤立的点，也可以是更复杂的集合，不一定连续。图像以几何方式呈现变量之间的依赖关系，与公式和表格相互补充。(openstax.org)
形式定义
对于函数 (f:A\to B)，其图像为 [ \Gamma_f={(a,f(a)):a\in A}. ] 每个有序对记录一个输入及其唯一对应的输出。因此，(\Gamma_f) 是笛卡尔积 (A\times B) 的一个子集，也可以视为满足函数定义条件的二元关系：(A) 中的每个元素都恰好出现在一个有序对的第一分量中。这种集合描述表达的输入—输出对应关系，与表格和绘制的点所表示的关系相同。(openstax.org)
从图像中可以还原出函数的定义域，即所有第一分量组成的集合。值域则是实际出现的所有第二分量组成的集合。然而，陪域 (B) 可以包含值域之外的元素，因而无法仅凭这些有序对确定。因此，图像记录了函数的全部函数值，却不一定记录函数 (f:A\to B) 的完整定义信息。(openstax.org)
坐标表示与图像检验
当输入和输出都是实数时，通常以横轴表示输入、纵轴表示输出来绘制图像。这种表示方式属于解析几何。尽管英语中都使用“graph”一词，函数图像与图论中研究的由顶点和边构成的结构并不相同。(mathworld.wolfram.com)
竖直线检验用于判定平面上的一个集合是否为函数图像：每条竖直线与该集合最多只能有一个交点。当 (c) 属于定义域时，直线 (x=c) 与图像恰有一个交点；否则没有交点。圆不能通过这一检验，因此不能作为 (y=f(x)) 的图像，因为有些输入对应两个不同的纵坐标。(openstax.org)
水平线检验考察的是另一种性质。当且仅当每条水平线与函数图像最多有一个交点时，该函数是单射函数。此时，定义在其值域上的反函数的图像可以通过交换原图像各点的坐标得到；从几何上看，就是将原图像关于直线 (y=x) 对称。(openstax.org)
从图像中读取信息
图像可以显示函数值、定义域的限制以及与坐标轴的交点。图像与横轴的交点出现在 (f(x)=0) 的位置；如果零属于定义域，则图像与纵轴的交点为 ((0,f(0)))。通常用空心和实心端点分别表示不包含和包含该端点。(openstax.org)
例如，定义在全体实数上的多项式函数 (f(x)=x^2) 的图像是一条抛物线，值域为 ([0,\infty))。将定义域限制为 ([0,\infty))，就只保留图像的右半部分，并使该函数成为单射函数。因此，即使公式不变，定义域的限制也会改变函数图像。(openstax.org)
图像还可以显示函数递增或递减的区间、局部极值、对称性以及不连续之处。单调函数在整个定义域或指定区间内保持同一变化方向。这些特征描述的是函数本身，而不只是某幅绘图的外观。(openstax.org)
图像变换
相互关联的函数，其图像也按一定规律相互关联。对于 [ g(x)=a,f(b(x-h))+k,\qquad a,b\ne0, ] 原图像上的每个点 ((u,f(u))) 都变为 [ \left(h+\frac{u}{b},,k+a f(u)\right). ] 因此，(h) 和 (k) 控制平移，(|a|) 和 (1/|b|) 分别控制竖直方向和水平方向的缩放比例。若 (a) 或 (b) 为负，还会发生对称变换。(openstax.org)
具体而言，当 (h>0) 时，(f(x-h)) 将图像向右平移 (h) 个单位，而 (f(x)+k) 将图像沿竖直方向平移 (k) 个单位，正值表示向上。(-f(x)) 和 (f(-x)) 的图像分别是原图像关于横轴和纵轴的对称图像。这些规则同样适用于定义域的限制和不包含的点。(openstax.org)
与微积分的联系
在微积分中，导数将函数的公式与其图像的局部性质联系起来。在 (f) 可导的位置，(f'(x)) 给出切线的斜率。如果导数在某个区间内处处为正，函数就在该区间内递增；如果处处为负，函数就在该区间内递减。临界点可能是局部极值点，但不一定如此：(x^3) 在原点处的导数为零，却不在该处取得极大值或极小值。(openstax.org)
二阶导数描述图像的凹凸性：二阶导数为正表示图像凹向上，为负表示图像凹向下。定积分给出图像与横轴之间的带符号面积。对于在 ([a,b]) 上满足 (f\ge g) 的连续函数 (f) 和 (g)，其图像之间的面积为 [ \int_a^b [f(x)-g(x)],dx. ] (openstax.org)
高维图像与绘图的局限
对于 (f:D\subseteq\mathbb R^n\to\mathbb R)，其图像由 ((n+1)) 维欧几里得空间中的点 ((x_1,\ldots,x_n,f(x_1,\ldots,x_n))) 组成。二元函数通常表示为三维空间中的曲面。由 (f(x,y)=c) 给出的等值集，则在输入所在的平面上提供等值线表示。(openstax.org)
显示出来的绘图并不等同于精确的函数图像：它只展示有限范围的视窗，分辨率也有限。数值绘图通过采样获取函数值，可能遗漏狭窄的局部特征或快速振荡。自适应采样会在变化最剧烈的位置增加采样点，但仅凭图像的外观，仍不能代替对函数性质的验证。(mathworld.wolfram.com)