单调函数

单调函数是指当输入增大时，函数值始终沿同一方向变化的函数：要么从不减小，要么从不增大。对于以实数为自变量的函数，单调性描述的是一种次序性质，而不是光滑性或变化率恒定。单调函数可以有恒定的区段，也可以发生跳跃；严格单调函数则必须使大小不同的输入对应严格有序的函数值。这些区别在数学分析中具有基础性意义。(jirka.org)

定义与术语

设 $f:D\to\mathbb R$，其中函数的定义域 $D$ 是 $\mathbb R$ 的子集。对于任意满足 $x<y$ 的 $x,y\in D$，四种主要条件如下：

• 单调不减： $f(x)\le f(y)$。
• 单调不增： $f(x)\ge f(y)$。
• 严格递增： $f(x)<f(y)$。
• 严格递减： $f(x)>f(y)$。

函数若单调不减或单调不增，就称为单调函数；若严格递增或严格递减，就称为严格单调函数。术语的用法并不统一：有些作者用“递增”表示单调不减，另一些作者则用它表示严格递增。明确写出不等式可以消除这种歧义。常值函数同时满足两种非严格条件，但在包含两个或更多点的定义域上，两种严格条件均不满足。(jirka.org)

单调性取决于所选的定义域。多项式 $f(x)=x^2$ 在 $(-\infty,0]$ 上严格递减，在 $[0,\infty)$ 上严格递增，但在整个 $\mathbb R$ 上并不单调。函数 $f(x)=x^3$ 则在整个实数域上严格递增。这些例子说明，单调性涉及每一对输入之间的比较，而不只是曲线某一部分的外观。(jirka.org)

导数与单调性

对于区间上的可导函数，其导数的符号可以刻画非严格单调性：

同样，$f'\le0$ 可以刻画单调不增的函数。如果区间包含端点，则在这些端点处还必须满足相应的连续性或单侧可导条件。定义域为区间这一假设十分重要，因为证明中需要用中值定理比较两个输入：

其中某个 $c\in(x,y)$。因此，导数非负就能保证函数值不减。反过来，可导的单调不减函数的差商均非负，所以差商的极限也非负。(jirka.org)

处处满足 $f'(x)>0$ 这一更强的条件，是函数严格递增的充分条件，但不是必要条件。对于 $f(x)=x^3$，导数 $3x^2$ 在零点处为零，却并不破坏严格单调性。不过，如果导数在某个区间上处处为零，函数就必定在该区间上为常值函数。在微积分中确定函数的递增区间和递减区间时，这些区别很有用。(jirka.org)

极限与间断点

区间上的实值单调函数在每个内点处都有有限的单侧极限。对于单调不减函数，

当且仅当这三个量相等时，它在 $c$ 处是连续函数。否则，该内点就是一个跳跃间断点：左极限与右极限不相等。因此，单调性排除了不受此限制的函数在间断点附近可能出现的振荡行为。(jirilebl.github.io)

间断点构成的集合至多是可数集。其理由是：在每个跳跃所对应的开区间 $(f(c^-),f(c^+))$ 内选取一个有理数。不同跳跃所对应的这些区间互不相交，因此选出的有理数也各不相同。尽管如此，单调函数仍然可以在某个区间内的每一个有理数点处都不连续；可数性并不意味着跳跃是孤立的。在边界点处，如果函数无界，单侧极限可能为无穷。(jirilebl.github.io)

反函数

严格单调性意味着函数是单射函数，因此它在自身的像集上有反函数。严格递增函数的反函数严格递增；严格递减函数的反函数严格递减。如果原函数在某个区间上连续，那么它的像集也是区间，且反函数在该像集上连续。(jirka.org)

例如，将 $x^2$ 的定义域限制为非负实数，就得到一个可逆函数，其反函数是取非负值的平方根函数。反过来，区间上的连续实值单射函数必定严格单调。仅有单射性或仅有连续性都不够：对于这一逆命题，定义域为区间以及上述两种性质，都是必不可少的条件。(jirka.org)

积分与概率

闭有界区间 $[a,b]$ 上的每个实值单调函数都黎曼可积。对于单调不减函数，将区间等分为 $n$ 个子区间，所得的上和与下和满足

这一差值趋于零，因而即使函数存在跳跃，也仍然可积。(jirka.org)

在概率论中，随机变量 $X$ 的累积分布函数

单调不减，因为只要 $x<y$，事件 $\{X\le x\}$ 就包含于事件 $\{X\le y\}$。它还具有右连续性。它的跳跃大小给出了各点的概率：

因此，单调函数的分析结构能够同时容纳连续分布、离散分布以及兼有这两种特征的分布。(ericwb.me)