黎曼积分是定积分的一种定义：通过不断细分区间，对各子区间上的函数值加权求和并取极限，为函数赋予一个累积值。对于非负函数，它表示函数图像下方的面积；对于既取正值又取负值的函数，它表示有向面积。黎曼积分以波恩哈德·黎曼命名，他在1854年的大学任教资格论文中提出了这一概念。它是微积分和数学分析中的一项基础性构造。(math.ucdavis.edu)
通过分割与求和定义
设 (f:[a,b]\to\mathbb R) 为有界函数，且 (a<b)。区间的一个分割是如下有限序列： [ P:\quad a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b. ] 在每个子区间中选取一个取样点，也称标记点，(\xi_i\in[x_{i-1},x_i])。相应的黎曼和为 [ S(f,P,\xi)=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(x_i-x_{i-1}). ] 分割的网格大小为 [ |P|=\max_i(x_i-x_{i-1}), ] 即其中最长子区间的长度。(math.ucdavis.edu)
若存在一个实数 (I)，使得对任意 (\varepsilon>0)，都存在 (\delta>0)，对于每一个满足 (|P|<\delta) 的分割以及每一种标记点的选择，都有 [ |S(f,P,\xi)-I|<\varepsilon, ] 则称该函数黎曼可积。这一共同的极限记为 [ I=\int_a^b f(x),dx. ] 要求每一个足够细的分割以及每一种标记点的选择都满足上述条件，这一点至关重要：仅有某个特意选取的和式序列收敛，并不能证明函数可积。各子区间可以等长，但并不要求等长。(math.ucdavis.edu)
上和与下和
一种等价的表述称为达布积分，它不需要选取标记点。在每个子区间上定义 [ m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]}f,\qquad M_i=\sup_{[x_{i-1},x_i]}f. ] 下和与上和分别为 [ L(f,P)=\sum_i m_i\Delta x_i,\qquad U(f,P)=\sum_i M_i\Delta x_i. ] 每个带标记点的和都介于两者之间。增加分割点只会使下和增大或保持不变，使上和减小或保持不变。可积性等价于：对任意 (\varepsilon>0)，都存在一个分割，使得 [ U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon. ] 因此，可积意味着上下近似值之差可以任意小。等价地说，所有下和的上确界等于所有上和的下确界。这种表述在证明中尤其有用。(math.ucdavis.edu)
可积性与间断点
闭有界区间上的每个连续函数都黎曼可积。一种标准证明利用一致连续性，控制函数在足够短的子区间内的变化幅度。这种区间上的每个实值单调函数也都可积，只有有限个间断点的有界函数同样可积。因此，处处连续是可积的充分条件，但不是必要条件。(math.ucdavis.edu)
精确的刻画由勒贝格判别准则给出：([a,b]) 上的有界函数黎曼可积，当且仅当其间断点集是勒贝格测度意义下的零测集。等价地说，该函数必须几乎处处连续。零测集可以被可数多个区间覆盖，且这些区间的总长度可以任意小。每个可数集的测度都为零，但某些不可数集的测度也为零。(ocw.mit.edu)
一个基本反例是 ([0,1]) 上有理数集的示性函数： [ D(x)= \begin{cases} 1,&x\in\mathbb Q,\ 0,&x\notin\mathbb Q. \end{cases} ] 由于有理数集和无理数集都是稠密集，每个非退化子区间上都能取到这两个函数值。因此，每个下和都为零，每个上和都为一。该函数处处不连续，因而不黎曼可积。这个例子还说明，即使函数仅在一个可数集上取非零值，也不一定黎曼可积。(math.mit.edu)
基本性质与计算
对于可积函数 (f) 和 (g)，积分具有线性性： [ \int_a^b(\alpha f+\beta g),dx =\alpha\int_a^b f,dx+\beta\int_a^b g,dx. ] 积分保持不等关系，并且在相邻区间上具有可加性。可积函数的乘积及其绝对值函数也可积，且 [ \left|\int_a^b f(x),dx\right| \leq\int_a^b|f(x)|,dx. ] 交换积分上下限会改变积分的符号；在长度为零的区间上积分，结果为零。(math.ucdavis.edu)
微积分基本定理将积分与导数联系起来。若 (f) 连续，且 [ F(x)=\int_a^x f(t),dt, ] 则在区间内部各点有 (F'(x)=f(x))。因此，若 (A) 是 (f) 的一个原函数，则 [ \int_a^b f(x),dx=A(b)-A(a). ] 例如，由 (A(x)=x^3/3) 可得 (\int_0^1x^2,dx=1/3)。该定理提供了一种计算积分的方法；积分本身的定义并不依赖于是否能找到便于计算的原函数。(math.ucdavis.edu)
与勒贝格积分的关系
有界区间上的每个黎曼可积函数都勒贝格可积，且两种积分的值相同。反之则不成立：上述函数 (D) 的勒贝格积分为零，因为它仅在一个可数集上取非零值。勒贝格积分是在测度论框架内发展起来的，它适用于更广泛的可测函数，而不要求基于区间的上下近似值一致。(math.mit.edu)
通常意义下的黎曼积分要求函数在有限区间上有界。对于无界函数和无穷区间，则使用反常积分处理，即在通常积分的基础上再取极限。例如， [ \int_0^1x^{-1/2},dx :=\lim_{\varepsilon\downarrow0} \int_\varepsilon^1x^{-1/2},dx=2. ] 这一极限收敛，并不意味着被积函数在 ([0,1]) 上通常意义下黎曼可积：它在零点附近仍然无界。(math.ucdavis.edu)