穷竭法是一种用于确定面积、体积以及几何量之间关系的数学证明方法。它起源于古希腊，用度量已知的图形逐步逼近曲边图形，使两者之间剩余的差小于任意指定的正量。随后，通过证明任何偏离预期结论的情况都会与足够精确的有限近似相矛盾，来确立这一结论。穷竭法预示了积分的某些思想，但其古典论证并不需要使用描述无穷过程的现代符号。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
历史发展
传统上，人们将穷竭法归于公元前四世纪的数学家克尼多斯的欧多克索斯，他还发展了一套比例理论。他本人的著作已失传，人们通过后世的数学文献了解这一方法。欧几里得在《几何原本》第十卷中阐述了穷竭法所依据的原理，并在第十二卷中将其广泛用于平面和立体几何学。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
生活于公元前三世纪的阿基米德将穷竭论证推广到涉及圆和曲边区域的重要问题。在《抛物线求积》的引言中，他提出这样一个假设：将两个不等面积之差反复相加，所得面积可以超过任意给定的有限面积。他还指出，前人关于圆、球、棱锥和圆锥的一些结论也依赖类似的假设。这些表述说明，他的证明延续了已有的传统，而不是将穷竭法作为自己的发明。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
穷竭原理
《几何原本》第十卷命题1指出：给定两个不等的量，先从较大的量中去掉超过一半的部分，再从每次余下的量中去掉超过一半的部分，如此反复进行，最终剩余的量会小于最初给定的较小量。这保证了，对于任何具体的比较，都能通过有限次作图达到足够的精度。(euclids-elements.org)
与此相关的阿基米德性质指出，对于同类的两个正量，其中一个量的足够大的倍数可以超过另一个量。这一性质排除了存在这样一个正量的可能性：它始终小于论证中反复细分所得到的每一个量。阿基米德在讨论面积时明确援引了这一假设。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
用现代数值语言重新表述，假设逐次余量满足
[ 0\leq R_n\leq q^nR_0,\qquad 0<q<1. ]
对于任意正的容许误差 (\varepsilon)，总存在某个有限的 (n)，使得 (R_n<\varepsilon)。这就是用极限的语言表达穷竭原理。它并不意味着有限近似最终一定会与曲边图形完全重合，而只是说，两者之间的差可以小于证明中所需的某个特定量。(euclids-elements.org)
穷竭证明的结构
典型的论证先提出一个待证的面积或体积结果，再构造度量已知的近似图形，然后用反证法排除结果偏大或偏小的可能。如果所提出的结果与真实量之间存在一个正的差，就不断细化构造，直到剩余误差小于这个差。此时，通过几何比较便会得出矛盾。如果需要分别排除偏大和偏小这两种情况，这种推理通常称为双重反证。(aleph0.clarku.edu)
有些证明同时使用内接和外切图形，给出下界和上界；另一些证明则只使用内接图形，并结合一个另行证明的、关于这些图形度量的恒等式。因此，穷竭法不只是近似计算程序：关键在于证明剩余误差的界限足以支持一个精确结论。圆与抛物线的求积体现了这些不同的论证方式。(web.math.utk.edu)
圆与立体图形
《几何原本》第十二卷命题2证明，圆的面积与其直径的平方成正比。欧几里得在圆内作内接多边形，并反复平分余下的圆弧。加入相应的三角形后，每个剩余弓形都会被去掉超过一半的面积，因此尚未覆盖的面积可以缩小到任意指定的正面积以下。在两个圆中作相似的内接多边形，就能得到反证论证中所用的比例关系。(aleph0.clarku.edu)
在《圆的度量》中，阿基米德证明，圆的面积等于一个直角三角形的面积，该三角形的两条直角边分别等于圆的半径和周长。用现代符号表示，即
[ A=\frac12 rC. ]
借助内接和外切多边形，可以排除两者面积不相等的两种可能。这一定理建立了面积与周长之间的关系，而无须将圆视为具有无穷多条边的多边形。(ms.uky.edu)
第十二卷还将穷竭法用于立体图形。其中的结论包括：圆锥的体积是与其同底等高的圆柱体积的三分之一；球的体积与其直径的立方成正比。这些构造采用适当的内接棱锥、棱柱或多面体。(aleph0.clarku.edu)
抛物线求积
阿基米德的《抛物线求积》确定了由一条抛物线及其一条弦围成的区域的面积。首先作一个内接三角形，以该弦为底，高与这一区域的高相同。随后继续作三角形来填充剩余区域，每一轮新增三角形的总面积都是上一轮的四分之一。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
若最初的三角形面积为 (T)，则逐次增加的面积构成一个等比级数：
[ T,\quad \frac{T}{4},\quad \frac{T}{16},\quad \ldots. ]
阿基米德证明了一个有限项恒等式，等价于
[ T+\frac{T}{4}+\cdots+\frac{T}{4^n} +\frac{T}{3\cdot4^n}=\frac43T. ]
最后的修正项可以变得任意小，同时内接三角形不断穷竭这一抛物线弓形区域。因此，通过反证论证可以确定，该区域的面积恰好等于 (4T/3)，而不只是近似等于这个值。(web.calstatela.edu)
与微积分的关系
穷竭法是微积分的重要先驱。它对近似误差的控制，与黎曼和及黎曼积分所依据的极限过程相似。不过，古典穷竭法处理的是几何量和有限构造，而不是关于函数与积分的一般理论。它通过排除一切正的差来证明一个待证关系，但其本身并不提供一种发现待证结果的通用方法。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)