黎曼和是微积分中用于近似定积分的有限加权和。其构造方法是将一个区间划分为若干较小的子区间，在每个子区间内选取一点，计算该点处的函数值，再将这些函数值与相应子区间宽度的乘积相加。从几何上看，各项表示带符号的矩形面积。在适当条件下，这些和的极限定义了黎曼积分。这一构造以波恩哈德·黎曼的名字命名。(math.hmc.edu)
定义与记号
设 (f:[a,b]\to\mathbb{R}) 是一个取值为实数的函数，其中 (a<b)。一个区间划分是如下有序点列： [ P:\quad a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b. ] 记 (\Delta x_i=x_i-x_{i-1})。在每个子区间内选取一个标记点，也称采样点，(\xi_i\in[x_{i-1},x_i])。相应的黎曼和为 [ S(f;P,\xi)=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i. ] 各子区间的宽度不必相等，标记点也不必遵循任何固定规则选取，或采用随机方式选取。一个划分连同其标记点称为带标记的划分。(math.hmc.edu)
划分的网格大小是其中最大的子区间宽度： [ |P|=\max_{1\le i\le n}\Delta x_i. ] 这一量决定了近似的精细程度。仅仅增加子区间的数量，并不能保证每个子区间的宽度都变小：即使其他子区间被反复细分，仍可能留下一个较大的子区间。因此，一般的收敛性结论要求 (|P|\to0)，而不只是 (n\to\infty)。(openstax.org)
常见的采样规则
对于等距划分， [ h=\frac{b-a}{n},\qquad x_i=a+ih. ] 三种标准的采样方式给出以下各和： [ \begin{aligned} L_n&=h\sum_{i=1}^{n}f(x_{i-1}),\ R_n&=h\sum_{i=1}^{n}f(x_i),\ M_n&=h\sum_{i=1}^{n} f!\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right). \end{aligned} ] 它们分别称为左端点和、右端点和与中点和。三者的区别仅在于每个子区间内采样位置的不同。(math.hmc.edu)
对于递增的单调函数，左端点和低估其积分，右端点和高估其积分；对于递减函数，不等式方向则相反。如果函数不具有单调性，仅凭端点的选择无法确定误差的方向。若无进一步假设，中点和也不一定始终高于或低于积分值。(math.hmc.edu)
梯形法则取两个端点和的平均值： [ T_n=\frac{L_n+R_n}{2}. ] 其通常的几何解释使用梯形而非矩形，因此有别于每个子区间只取一个采样点的标准黎曼和构造。(openstax.org)
收敛性与可积性
如果存在一个数 (I)，使得对任意 (\varepsilon>0)，都存在某个 (\delta>0)，满足：对于每一个网格大小为 (|P|<\delta) 的带标记划分，都有 [ |S(f;P,\xi)-I|<\varepsilon, ] 则称有界函数 (f) 在 ([a,b]) 上黎曼可积。这一要求涵盖所有足够精细的划分以及所有标记点的选择，而不只是某个便于计算的和序列。数 (I) 记作 (\int_a^b f(x),dx)。(math.ucdavis.edu)
闭有界区间上的每个连续函数都可积。有界单调函数以及只有有限个不连续点的有界函数也都可积。更一般地，勒贝格判据指出：一个有界函数黎曼可积，当且仅当其不连续点构成一个零测集，即勒贝格测度为零的集合。(math.ucdavis.edu)
作为对比，考虑定义在 ([0,1]) 上的函数：它在每个有理数处取值为 (1)，在其他点处取值为 (0)。无论网格大小变得多小，选取有理数作为标记点得到的和都等于 (1)，选取无理数作为标记点得到的和则都等于 (0)。因此，这个函数没有黎曼积分，但其勒贝格积分为零。(math.ucdavis.edu)
上和与下和
达布和用函数在各子区间上的界来代替选定的函数值。定义 [ m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]}f,\qquad u_i=\sup_{[x_{i-1},x_i]}f. ] 下和与上和分别为 [ \mathcal L(f,P)=\sum_i m_i\Delta x_i,\qquad \mathcal U(f,P)=\sum_i u_i\Delta x_i. ] 每个带标记的黎曼和都介于这两个量之间。一个有界函数可积，当且仅当可以通过选取划分，使 (\mathcal U(f,P)-\mathcal L(f,P)) 任意小。这给出了一个无须预先知道积分值的可积性判据。(math.libretexts.org)
函数不一定能取到其下确界和上确界。因此，达布上和与下和本身不一定是带标记的黎曼和，尽管它们给出了同一划分下所有这类和的上下界。(math.libretexts.org)
示例与数值精度
对于 ([0,1]) 上的多项式 (f(x)=x^2)，采用等距划分并在右端点采样，得到 [ R_n=\frac1n\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} =\frac13+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}. ] 因此 (R_n\to1/3)。对左端点采用同样的求和计算，可得 [ L_n=\frac13-\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}. ] 尽管有限项的近似值不同，两者都趋于同一个积分值。这是标准平方和计算在单位区间上的应用。(openstax.org)
在数值分析中，收敛性与误差估计是两个不同的问题：收敛性确定极限值，而误差界则量化有限计算的精度。如果 (f) 具有连续的二阶导数，且 (|f''(x)|\le K)，则等距划分下的中点法则满足 [ \left|\int_a^b f(x),dx-M_n\right| \le \frac{K(b-a)^3}{24n^2}. ] 用大O记号表示的 (O(n^{-2})) 误差界描述了随着划分细化，所保证的误差上限如何减小。因此，黎曼和既可用于定义积分，也可在无法求得原函数或原函数难以表达时用于实际的近似计算。(openstax.org)