曲线积分 · aiwiki.page

曲线积分是沿曲线进行的积分，而不是在区间、区域或体积上进行的积分。在微积分中，它主要有两种形式：一种是对标量值函数关于弧长积分，另一种是对向量场的切向分量关于位移积分。尽管也称为“线积分”，积分路径并不一定是直线。曲线积分可用于描述细导线的质量、力所做的功以及沿闭合路径的环流等量。(openstax.org)

曲线与参数化

欧几里得空间中的曲线可以用参数化表示：

\mathbf r:[a,b]\longrightarrow\mathbb R^n.

向量 $\mathbf r(t)$ 表示位置，而它的导数 $\mathbf r'(t)$ 表示切线方向及沿曲线运动的速率。初等讨论通常采用分段连续可微曲线，允许曲线在有限个连接点处出现尖角。参数增大的方向确定了曲线的定向。(openstax.org)

以下两种微分区分了曲线积分的主要类型：

ds=\|\mathbf r'(t)\|\,dt, \qquad d\mathbf r=\mathbf r'(t)\,dt.

其中， $ds$ 是非负的弧长微元，范数在这里表示速率。相比之下， $d\mathbf r$ 是有方向的位移微元。这一区别解释了为什么反转曲线方向不会改变标量的弧长积分，却会使向量场的功积分变号。(openstax.org)

标量曲线积分

对于定义在分段光滑曲线 $C$ 上的连续函数 $f$ ，标量曲线积分为

\int_C f\,ds = \int_a^b f(\mathbf r(t))\|\mathbf r'(t)\|\,dt.

其构造方式与黎曼和类似：将曲线分成短弧段，把每段上选取的函数值乘以该段弧长，再对各项求和，并在分割不断加细时取极限。速率因子必不可少，因为相等的参数增量未必对应相等的路程。(openstax.org)

令 $f=1$ ，便得到 $C$ 的长度。如果 $f=\lambda$ 表示质量线密度，那么

m=\int_C\lambda\,ds

给出的就是导线的质量。从数学上说，函数值可以为负，但物理上的质量密度是非负的。(openstax.org)

举一个简单的例子：沿半径为 $R>0$ 的圆周绕行一圈，其参数化为

\mathbf r(t)=(R\cos t,R\sin t),\qquad 0\le t\le2\pi.

由于速率为 $R$ ，当线密度为常数 $\lambda_0$ 时，质量为

m=\int_0^{2\pi}\lambda_0R\,dt=2\pi R\lambda_0.

向量曲线积分与定向

对于连续向量场 $\mathbf F$ ，有向曲线积分为

\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt.

点号表示欧几里得内积。等价地，被积表达式可以写为 $\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds$ ，其中 $\mathbf T$ 是沿曲线定向的单位切向量。因此，只有平行于曲线切线的分量对积分有贡献。在经典力学中，以这种方式对力积分，得到的就是力所做的功（物理学）。(live.ocw.mit.edu)

在三维空间中，令 $\mathbf F=(P,Q,R)$ ，则有

\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz.

保持定向的正则参数变换不会改变积分值；反转定向则会使积分变号。重复经过曲线并不只是改变参数化：每多经过一次，就会再次产生相应的积分贡献。(live.ocw.mit.edu)

这两种主要形式都对被积函数具有线性，并且对依次连接的曲线段具有可加性。闭合曲线上的积分通常记作 $\oint_C$ ；对于向量场，它度量的是环流。与弧长积分不同，环流的各部分贡献带有正负号，因此可能相互抵消。(live.ocw.mit.edu)

势函数与路径无关性

若 $\mathbf F=\nabla\phi$ ，其中 $\phi$ 连续可微，则曲线积分基本定理给出

\int_C\nabla\phi\cdot d\mathbf r =\phi(B)-\phi(A),

其中 $A$ 和 $B$ 分别是起点和终点。因此，梯度场的积分与路径无关。证明时，先对 $\phi(\mathbf r(t))$ 应用链式法则，再应用微积分基本定理。(openstax.org)

在连通的开域上，连续向量场的积分与路径无关，等价于其沿每一条分段光滑闭合路径的积分都为零，并且意味着存在标量势函数。对于保守力，力学中通常采用约定 $\mathbf F=-\nabla U$ ，因此所做的功等于势能的减少量。(openstax.org)

对定义域的假设十分重要。在单连通开域上，旋度为零的连续可微向量场是保守场；但如果定义域存在孔洞，仅有旋度为零未必能保证全局的路径无关性。拓扑学正是在这里进入这一理论的。(openstax.org)

边界定理

格林定理将平面上的环流转化为面积积分。若 $C$ 是区域 $D$ 的正向、简单、闭合且分段光滑的边界，并且 $P,Q$ 在 $D$ 的某个邻域内具有连续的偏导数，则

\oint_C P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA.

其通量形式则将向量场沿边界的外法向分量的积分，与该向量场的散度在区域上的积分联系起来。(openstax.org)

在三维空间中，斯托克斯定理将沿有向曲面边界的环流，与旋度的曲面积分联系起来：

\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS.

边界方向与曲面法向必须具有相容的定向。这些恒等式使我们能够将难以计算的曲线积分，替换为区域或曲面上与之等价的积分。(openstax.org)