保守力

保守力是这样一种力：它使粒子从一个位置移动到另一个位置时所做的功（物理学）与所经路径无关。在经典力学中，这一性质使得该力可以用势能函数来表示。等价地说，它沿任意闭合路径所做的总功都为零。在各自适用的模型中，引力、理想弹簧力和静电力都是典型的保守力。这个术语描述的是力场的性质，而不是某次具体运动是否缓慢、可逆或无摩擦。(openstax.org)

功与路径无关性

对于随位置变化的力场 $\mathbf F(\mathbf r)$，沿路径 $C$ 从 $A$ 到 $B$ 所做的功为以下曲线积分：

如果连接这两个端点的所有允许路径都使该积分具有相同的值，那么这个力就是保守力。因此，对于力场定义域内的任意闭合路径，都有

反过来，若沿任意闭合路径所做的功都为零，则功与路径无关：将一条从 $A$ 到 $B$ 的路径与另一条路径的反向路径拼接起来，就能形成闭合回路。这些表述涉及所有允许的路径，而不只是某一条轨迹。沿某个特定回路做功为零，并不能证明一个力是保守力。(openstax.org)

势能表示

对于保守力，势能差定义为

功与路径无关，使 $U$ 成为位置的单值函数。保守力做正功时，势能减小。势能的参考值可以任意选取：给 $U$ 加上一个常数，既不会改变势能差，也不会改变由它得到的力。从物理上说，势能属于发生相互作用的系统；不过，在质点问题中，人们常将其描述为粒子在给定外场中所具有的能量。(openstax.org)

在局部，二者的关系为

其中 $\nabla U$ 是势能的梯度。在笛卡尔坐标系中，力的各分量等于相应偏导数的负值：

在一维情况下，该关系简化为 $F_x=-dU/dx$。负号表示，在梯度不为零的地方，力指向势能减小的方向。(openstax.org)

旋度与定义域

连续可微的保守力场，其旋度为零：

反过来推断时，则需要注意定义域。在单连通的开域上，旋度为零足以保证连续可微的力场是保守力场。单连通是指每一条闭合回路都能在始终不离开定义域的情况下连续收缩为一个点。因此，除了力场的局部导数，区域的拓扑学性质也很重要。在二维情况下，旋度判据可写为

如果定义域不满足适当条件，仅凭这一等式并不能证明功在全局上与路径无关。(openstax.org)

在去掉原点的平面上，一个典型的反例是

该力场在其定义域内处处旋度为零，但沿包围原点的圆周逆时针积分，结果为 $2\pi$，而不是零。因此，它在局部可以用势函数表示，但在整个去掉原点的平面上，不存在全局单值的势函数。被排除的原点使包围它的回路无法在定义域内收缩为一个点。(ocw.mit.edu)

典型物理实例

地球表面附近的重力。 将引力场近似视为均匀场时，质量为 $m$ 的粒子的势能为 $U=mgy+C$，其中高度 $y$ 以向上为正，重力加速度 $g$ 视为常量。因此，竖直方向的力为 $F_y=-mg$。将粒子从一个高度提升到另一个高度，无论经过什么路径，重力势能的变化都相同。这是地球附近的局部近似，并不适用于任意距离。(openstax.org)

理想弹簧力。 遵循胡克定律的弹簧施加的力为 $F_x=-kx$，其中 $k$ 为弹簧劲度系数，$x$ 为相对于平衡位置的位移。其势能为

这一保守力模型不考虑摩擦、内部阻尼以及其他使储存的弹性势能无法完全回收的机制。(openstax.org)

静电力。 在静电学中，电荷 $q$ 所受的力为 $\mathbf F=q\mathbf E$。电场与电势 $V$ 的关系为 $\mathbf E=-\nabla V$，由此得到 $U=qV$。库仑定律所描述的静电相互作用是保守的。这一结论针对静电场，而不适用于任意电磁场。(openstax.org)

机械能与非保守力

动能定理指出，合力所做的功等于动能 $K$ 的变化量。对于不随时间变化的保守相互作用，其做功为 $-\Delta U$。如果其他力所做的总功为零，则

此时守恒的是机械能量。因此，保守力可以改变粒子的速率，同时保持动能与势能之和不变。如果还有非保守力做功，相应的关系为

必须明确所选取的系统，以及在该系统能量核算中计入了哪些力。(openstax.org)

滑动摩擦是典型的非保守力：它所做的功通常取决于运动经过的路程，而且通常会使机械能减少。这并不违反总能量守恒。能量转化为其他形式，包括相互作用物体及其周围环境的内能。因此，“保守”用来区分哪些力可以用仅依赖位置的势能来描述，并不意味着其他力违反能量守恒。(openstax.org)