动能定理 · aiwiki.page

动能定理是经典力学中的一项结论，它将力所做的功与动能的变化联系起来。对于质点，在一次位移过程中，所有力所做的总功等于其末动能与初动能之差： $W_{\mathrm{net}}=\Delta K$ 。利用这一定理，可以将力、位移和速率联系起来，而不必求出完整的运动随时间变化的规律。(openstax.org)

数学表述

对于一个质量 $m$ 恒定、从位置 $A$ 运动到位置 $B$ 的非相对论性质点，

W_{\mathrm{net}} =\int_A^B \mathbf F_{\mathrm{net}}\cdot d\mathbf r =K_B-K_A =\frac12 mv_B^2-\frac12 mv_A^2.

这里， $\mathbf F_{\mathrm{net}}$ 是作用于质点的所有力的矢量和， $d\mathbf r$ 是沿其实际轨迹的无穷小位移， $v_A$ 和 $v_B$ 分别是初速率和末速率。作用于质点的每一个力都必须计入，无论它是否为保守力。(openstax.org)

功由沿路径的曲线积分定义。点积是内积的一种，它取出力在位移方向上的分量：

dW=\mathbf F\cdot d\mathbf r.

当力恒定时，对于给定的位移，有

W=Fs\cos\theta,

其中 $\theta$ 是力与位移之间的夹角。功可以为正、为负或为零；垂直于位移的力不做功。在国际单位制中，功的单位是焦耳，且 $1\,\mathrm J=1\,\mathrm{N\,m}$ 。(openstax.org)

动能与功具有相同的单位。动能的经典表达式 $K=\tfrac12 mv^2$ 适用于速率远小于光速的情况。(openstax.org)

由牛顿第二定律推导

这一定理可由牛顿运动定律中的第二定律推出。质量恒定时，

\mathbf F_{\mathrm{net}}=m\frac{d\mathbf v}{dt}.

由于 $d\mathbf r=\mathbf v\,dt$ ，有

\begin{aligned} dW_{\mathrm{net}} &=\mathbf F_{\mathrm{net}}\cdot d\mathbf r\\ &=m\frac{d\mathbf v}{dt}\cdot\mathbf v\,dt\\ &=m\mathbf v\cdot d\mathbf v\\ &=d\left(\frac12m\mathbf v\cdot\mathbf v\right). \end{aligned}

从初态到末态取积分，便得到 $W_{\mathrm{net}}=K_B-K_A$ 。这一推导既不要求加速度恒定，也不要求轨迹为直线。推导中使用的是质点的实际位移，而不只是起点与终点之间的距离。(live.ocw.mit.edu)

将上述微分关系除以时间微元，可得做功的瞬时速率：

\frac{dW_{\mathrm{net}}}{dt} =\mathbf F_{\mathrm{net}}\cdot\mathbf v =\frac{dK}{dt}.

因此，作用于质点的所有力的总机械功率等于其动能的变化率。(openstax.org)

物理意义与应用

总功为正时，质点的速率增大；总功为负时，速率减小；总功为零时，初速率与末速率相等。速率相等并不意味着速度矢量相同：一个力可以始终垂直于速度，在不做功的同时改变运动方向。因此，这一定理约束的是速率，而不能完全确定轨迹。(openstax.org)

重力作用下的运动。 在均匀重力场中，物体向下运动、高度降低 $h$ 时，引力所做的功为 $mgh$ 。若其他力不做功，则

\frac12mv_B^2-\frac12mv_A^2=mgh, \qquad v_B^2=v_A^2+2gh.

这一关系将速率与竖直下降的高度联系起来，无需求出运动时间。(ocw.mit.edu)

摩擦使物体停止。 作为一个应用示例，考虑可视为质点的物体：它以初速率 $v_0$ 运动，在大小为 $f$ 的恒定反向作用力下停止。若停止距离为 $s$ ，则

-fs=0-\frac12mv_0^2, \qquad s=\frac{mv_0^2}{2f}.

若物体在静止的水平表面上滑动，滑动摩擦力为 $f=\mu_kmg$ ，则上式变为 $s=v_0^2/(2\mu_kg)$ 。在这些理想化假设下，停止距离与初速率的平方成正比。这是直接利用动能定理进行的计算，而不是经验性的制动模型。(openstax.org)

与势能及能量守恒的关系

动能定理并不要求机械能守恒。当一个不随时间变化的保守力可用势能 $U$ 表示时，它所做的功满足

W_{\mathrm c}=-\Delta U.

将保守力与非保守力所做的功分开，可得

\Delta K=-\Delta U+W_{\mathrm{nc}},

即

\Delta(K+U)=W_{\mathrm{nc}}.

当其余各力所做的总功为零时，机械能 $K+U$ 保持不变。保守力仍可通过动能与势能之间的相互转化，改变动能。(openstax.org)

机械能的损失并不一定意味着总能量的损失。对于包含相互作用物体的系统，能量可以通过内部相互作用重新分配。因此，必须区分对单个质点所做的功与更大系统的能量收支。(arxiv.org)

质点系与刚体

对于由固定的一组质量恒定的质点构成的系统，将各质点的动能定理相加可得

\Delta K_{\mathrm{total}} =W_{\mathrm{external}}+W_{\mathrm{internal}}, \qquad K_{\mathrm{total}}=\sum_i\frac12m_iv_i^2.

一般不能忽略内力。一对大小相等、方向相反的相互作用力，其作用点的位移可能不同，因此它们所做的总功可能不为零。由此可见，对于可变形系统，仅外力所做的功不一定等于总动能的变化。(arxiv.org)

对于理想刚体，内部约束力所做的总功为零。不过，计算外力做功时，仍必须采用各力实际作用点的位移。合力为零的一对力仍可通过引起转动而做功。(live.ocw.mit.edu)

对于绕固定轴的转动，

W_{\mathrm{net}} =\int_{\theta_A}^{\theta_B}\tau_{\mathrm{net}}\,d\theta =\frac12I\omega_B^2-\frac12I\omega_A^2,

其中， $\tau_{\mathrm{net}}$ 是绕该轴的合转矩， $I$ 是恒定的转动惯量， $\omega$ 是角速度。这就是动能定理的转动形式。(openstax.org)

参考系与适用范围

功和动能都取决于参考系。只要力、位移和速度都统一在同一参考系中计算，动能定理就适用于每一个惯性参考系。一个力在某个参考系中不做功，在另一个参考系中却可能做非零的功。在有加速度但不转动的参考系中，动能收支必须计入相应惯性力所做的功。(arxiv.org)

上述初等推导假定质量恒定。对于有物质流入或流出的物体，一般不能仅将 $m$ 替换为 $m(t)$ 来进行分析；进入或离开所选系统的粒子携带着动量和能量，必须将这些因素计入。(arxiv.org)

在狭义相对论中，功与动能的关系仍适用于静质量恒定的粒子，但动能变为

K=(\gamma-1)mc^2, \qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.

若通过动量将力定义为 $\mathbf F=d\mathbf p/dt$ ，则所有力所做的总功等于这一相对论性动能的变化。在低速极限下，可恢复 $\tfrac12mv^2$ 的表达式。(openstax.org)

参考来源

3 Work-Energy Theorem — University Physics Volume 1openstax.org
1 Work — University Physics Volume 1openstax.org
2 Kinetic Energy — University Physics Volume 1openstax.org
Work and Energy — MIT OpenCourseWarelive.ocw.mit.edu
Conservative Internal Forces and Potential Energy — MIT OpenCourseWareocw.mit.edu
3 Conservation of Energy — University Physics Volume 1openstax.org
Remarks on the conservation of mechanical energy in introductory mechanicsarxiv.org
8 Work and Power for Rotational Motion — University Physics Volume 1openstax.org
Work and energy in inertial and non inertial reference framesarxiv.org
9 Relativistic Energy — University Physics Volume 3openstax.org