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数学 / vector-field

矢量场

矢量场为空间中的每一点赋予一个矢量，用于描述速度、力或局部运动方向等量。

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微积分函数微分几何开集欧几里得空间基（线性代数）梯度势能矢量场

矢量场是指在指定空间或区域中的每一点赋予一个矢量。在初等微积分中，它是定义在欧几里得空间某一区域上的矢量值函数，通常用箭头表示，箭头的方向和长度分别表示所赋予矢量的方向和大小。在微分几何中，流形上的矢量场为每一点赋予一个属于该点切空间的矢量。矢量场为流体速度、引力以及其他随位置变化的量提供了数学描述。(openstax.org)

定义与表示

在区域 U⊆RnU\subseteq\mathbb R^n 上，矢量场是一个映射

F:U⟶Rn,F(x)=(F1(x),…,Fn(x)).\mathbf F:U\longrightarrow\mathbb R^n, \qquad \mathbf F(\mathbf x)= \bigl(F_1(\mathbf x),\ldots,F_n(\mathbf x)\bigr).

函数 FiF_i 称为矢量场的分量。在微分学中，UU 通常是一个开集，并假定各分量具有所考察运算要求的连续性或可微性。当各分量具有相应的正则性时，就称该矢量场为连续、连续可微或光滑的矢量场。(openstax.org)

在三维欧几里得空间中，矢量场可写为

F(x,y,z)=P(x,y,z)ex+Q(x,y,z)ey+R(x,y,z)ez,\mathbf F(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf e_x+ Q(x,y,z)\mathbf e_y+R(x,y,z)\mathbf e_z,

其中 ei\mathbf e_i 构成标准基（线性代数）。其大小为

∥F∥=P2+Q2+R2.\|\mathbf F\|=\sqrt{P^2+Q^2+R^2}.

箭头图在选定的点上对矢量场进行采样；它是矢量场的可视化表示，而不是矢量场本身。单位矢量场在每一点的大小都为一，只表示方向，不包含大小的变化。(openstax.org)

标量场为每一点赋予的是一个数，而不是一个矢量。例如，温度通常用标量场建模，而流体速度则用矢量场建模。含时矢量场还依赖于参数 tt，因此其值写为 F(x,t)\mathbf F(\mathbf x,t)。(ocw.mit.edu)

基本示例

以下几个简单的矢量场展示了不同的几何形态：

  • 常矢量场： F(x,y)=(a,b)\mathbf F(x,y)=(a,b)。所有箭头的大小和方向都相同。
  • 径向场： F(x,y)=(x,y)\mathbf F(x,y)=(x,y)。箭头从原点向外指，大小随距原点的距离增加而增大。
  • 旋转场： F(x,y)=(−y,x)\mathbf F(x,y)=(-y,x)。箭头与以原点为圆心的圆相切，并沿逆时针方向指向。
  • 梯度场： F=∇ϕ\mathbf F=\nabla\phi，由标量函数 ϕ\phi 求导得到。

这些例子分别体现了均匀平移、向外运动、圆周运动以及由标量势控制的运动。(ocw.mit.edu)

旋转场还说明，仅凭箭头的几何形态无法判断场中是否存在源：尽管 (−y,x)(-y,x) 的方向和大小都随位置变化，其散度仍为零。(openstax.org)

微分运算

矢量场的主要局部微分运算用于度量各分量随位置的变化。以下公式均采用笛卡尔坐标。

梯度场

可微标量函数 ϕ\phi 的梯度为

∇ϕ=(∂ϕ∂x1,…,∂ϕ∂xn).\nabla\phi= \left( \frac{\partial\phi}{\partial x_1},\ldots, \frac{\partial\phi}{\partial x_n} \right).

在欧几里得度量下，非零梯度指向 ϕ\phi 在局部增长最快的方向。能表示为 ∇ϕ\nabla\phi 的场称为梯度场或保守场。对于由势能 VV 导出的物理力，惯用的关系式则带有负号：

F=−∇V.\mathbf F=-\nabla V.

(ocw.mit.edu)

散度

可微矢量场的散度是如下标量函数：

∇⋅F=∑i=1n∂Fi∂xi.\nabla\cdot\mathbf F= \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial F_i}{\partial x_i}.

它度量局部单位体积的净向外通量。对于速度场，正散度表示局部膨胀，负散度表示局部压缩。满足 ∇⋅F=0\nabla\cdot\mathbf F=0 的场称为无散场或螺线场。这并不要求场为常矢量场或没有旋转。(openstax.org)

旋度

在三维空间中，旋度为

∇×F=(∂R∂y−∂Q∂z,∂P∂z−∂R∂x,∂Q∂x−∂P∂y).\nabla\times\mathbf F= \left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right).

它度量局部环流；对于流体速度场，它描述局部旋转。旋度为零的场称为无旋场。对于平面矢量场 (P,Q)(P,Q)，相应的标量旋度为

∂Q∂x−∂P∂y.\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.

(ocw.mit.edu)

对于足够光滑的函数，有

∇×(∇ϕ)=0,∇⋅(∇×F)=0.\nabla\times(\nabla\phi)=0, \qquad \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F)=0.

这些恒等式源于混合偏导数的相等性。常见的矢量值旋度公式仅适用于三维空间；更一般的表述则使用微分形式。(ocw.mit.edu)

积分、环流与通量

矢量场可以沿曲线或穿过曲面进行积分，得到不同的几何量。

对于分段光滑曲线 r(t)\mathbf r(t)，a≤t≤ba\leq t\leq b，矢量场沿该曲线的曲线积分为

∫CF⋅dr=∫abF(r(t))⋅r′(t) dt.\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_a^b \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt.

当 F\mathbf F 是力场时，这一积分给出功（物理学）。沿闭合曲线的积分通常称为环流。(openstax.org)

穿过定向曲面 SS 的通量为

∬SF⋅n dS,\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS,

其中 n\mathbf n 是选定的单位法向量。只有垂直于曲面的分量对通量有贡献。对于流体速度场，该积分度量单位时间内穿过曲面的有符号体积流量。(openstax.org)

两个基本定理将这些积分与局部微分运算联系起来：

  • 散度定理表明

    ∬∂VF⋅n dS=∭V∇⋅F dV,\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS = \iiint_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV,

    其中边界取向外定向。

  • 斯托克斯定理表明

    ∮∂SF⋅dr=∬S(∇×F)⋅n dS,\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS,

    其中曲面与边界的定向须相容。

应用这些定理时，矢量场必须具有适当的光滑性，区域或曲面也须满足相应的正则性条件。积分区域内部的奇点不能直接忽略。(openstax.org)

保守场与定义域的拓扑

若 F=∇ϕ\mathbf F=\nabla\phi，则

∫CF⋅dr=ϕ(r(b))−ϕ(r(a)).\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r =\phi(\mathbf r(b))-\phi(\mathbf r(a)).

因此，积分只取决于端点，沿任意闭合曲线的积分都为零。在连通的开区域上，对于连续矢量场，积分与路径无关等价于存在标量势。(openstax.org)

旋度为零是连续可微保守场的必要条件，但并非在所有定义域上都是充分条件。在二维或三维中，若一个开区域是单连通空间，则其上的连续可微无旋场必为保守场。因此，定义域的拓扑学性质同样重要，不能只考虑局部导数。(ocw.mit.edu)

去掉原点的平面上的一个标准反例是

F(x,y)=(−yx2+y2,xx2+y2).\mathbf F(x,y)= \left( -\frac{y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2} \right).

它在定义域内处处具有零标量旋度，但沿单位圆逆时针方向的环流为 2π2\pi。因此，它在该定义域上不存在全局单值的标量势。由于原点被排除，通常的旋度判别法无法据此确立全局保守性。(ocw.mit.edu)

积分曲线与流

矢量场的积分曲线是满足下式的参数化曲线：

dxdt=F(x(t)).\frac{d\mathbf x}{dt}=\mathbf F(\mathbf x(t)).

其速度等于当前位置处的场矢量。由此，矢量场对应于一个自治微分方程。对于含时矢量场，方程变为

dxdt=F(x(t),t).\frac{d\mathbf x}{dt}=\mathbf F(\mathbf x(t),t).

(math.stanford.edu)

在满足适当的局部利普希茨连续性条件时，初始位置确定唯一的局部解。光滑矢量场满足这一局部条件。解不一定在所有时间内都存在：它们可能离开定义域，也可能在有限时间内变得无界。若一个矢量场的积分曲线对每个实数时间都存在，则称该场为完备矢量场。(math.stanford.edu)

对于定常流体速度场，积分曲线就是流线，并与流体粒子的轨迹重合。对于非定常场，瞬时流线与粒子轨迹通常不同。场的零点是平衡点，对应于常值积分曲线。(ocw.mit.edu)

流形上的矢量场

在光滑流形 MM 上，赋予点 pp 的矢量属于该点的切空间 TpMT_pM：

Xp∈TpM.X_p\in T_pM.

等价地说，光滑矢量场是切丛 TMTM 的光滑截面。在局部坐标中，

X=∑iXi∂∂xi.X=\sum_i X^i\frac{\partial}{\partial x^i}.

改变坐标时，各分量按照坐标变换的雅可比矩阵进行变换，而切向量本身保持不变。(math.stanford.edu)

矢量场也可以作为方向导数作用于光滑标量函数：

X(f)=∑iXi∂f∂xi.X(f)=\sum_iX^i\frac{\partial f}{\partial x^i}.

这一运算满足乘积法则。两个此类运算的交换子定义了它们的李括号，而李括号仍是一个矢量场。(math.stanford.edu)

全局拓扑可以限制具有特定性质的矢量场是否存在。毛球定理指出，二维球面上的每个连续切向量场都至少有一个零点。因此，在曲面上绘制的矢量场必须同时满足切向性要求和全局拓扑约束。(math.stanford.edu)

应用与适用范围

在物理学中，矢量场用于描述速度、单位质量所受的力、电场和磁场。它们的导数和积分将局部行为与可观测的环流、输运和通量联系起来。特别是，麦克斯韦方程组使用散度和旋度来表达电磁关系。(openstax.org)

从数学上说，定义域、正则性和几何结构的选择至关重要。笛卡尔坐标下的公式不能原封不动地用于任意曲线坐标，局部微分条件也不自动保证全局势或全局定义的流存在。流形上的矢量场通过将矢量视为依赖于所在点的切向对象，而不只是分量函数的列表，来处理这些区别。(math.stanford.edu)

参考来源

  1. 1 Vector Fields — Calculus Volume 3openstax.org
  2. 2 Line Integrals — Calculus Volume 3openstax.org
  3. 3 Conservative Vector Fields — Calculus Volume 3openstax.org
  4. 5 Divergence and Curl — Calculus Volume 3openstax.org
  5. 6 Surface Integrals — Calculus Volume 3openstax.org
  6. 7 Stokes’ Theorem — Calculus Volume 3openstax.org
  7. 8 The Divergence Theorem — Calculus Volume 3openstax.org
  8. Chapter 6 Key Concepts — Calculus Volume 3openstax.org
  9. Chapter 15: Vector Calculusocw.mit.edu
  10. Part B: Vector Fields and Line Integralsocw.mit.edu
  11. MIT 3.016 Lecture 13ocw.mit.edu
  12. MIT 18.02 Lecture 24 Transcriptocw.mit.edu