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数学 / stokes-theorem

斯托克斯定理

斯托克斯定理将定向区域上导数量的积分与其边界上原量的积分联系起来。

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斯托克斯定理是通过几何区域的边界，将导数与积分联系起来的一项基本定理。在经典的三维形式中，该定理指出：向量场沿定向曲面边界的环流，等于该向量场的旋度通过这一曲面的通量。其广义形式用流形上的微分形式表达同一原理，将微积分中的若干重要定理统一起来。(ocw.mit.edu)

经典表述

设 SS 是三维欧几里得空间中的紧致、定向、分片光滑曲面，其边界 C=∂SC=\partial S 分片光滑。设 F\mathbf F 是一个向量场，其各分量在 SS 的某个开邻域内具有连续的一阶偏导数。则有

∮∂SF⋅dr=∬S(∇×F)⋅n dS\boxed{ \oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS }

前提是沿边界行进的方向与曲面的定向相一致。这里，n\mathbf n 是选定的单位法向量，dSdS 是标量面积元，drd\mathbf r 是沿边界的有向位移。等式左侧是曲线积分，右侧是曲面积分。(ocw.mit.edu)

对于 F=(P,Q,R)\mathbf F=(P,Q,R)，其旋度为

∇×F=(∂R∂y−∂Q∂z,∂P∂z−∂R∂x,∂Q∂x−∂P∂y).\nabla\times\mathbf F = \left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right).

因此，该定理将向量场沿边界的切向行为，与以该边界为边界的曲面上各偏导数的某种组合联系起来。(ocw.mit.edu)

定向与几何意义

三维空间中光滑曲面的定向，是对法线方向作出的连续选择。由此诱导的边界定向遵循右手定则：在局部，右手拇指指向所选的法线方向，其余四指弯曲的方向就是边界的正向。等价地，一个人沿边界正向行走，且头部指向法线方向时，曲面位于其左侧。将曲面定向反转，也会使边界定向反转，并使两个积分同时变号。(live.ocw.mit.edu)

一个曲面可以有多个边界分支。积分时必须包含所有分支，并使每个分支都采用其诱导定向。例如，法线向上的平面圆环，其外边界为逆时针方向，内边界为顺时针方向。漏掉内边界会改变定理中的边界积分。(ocw.mit.edu)

从几何上看，旋度衡量单位面积上的局部环流，其法向分量对应于曲面切平面内的环流。斯托克斯定理将这些局部贡献累加起来，得到沿整个边界的环流。对于流体速度场，旋度称为涡量；它描述的是局部旋转行为，而不只是流线看起来是否弯曲。(live.ocw.mit.edu)

示例

作为一个直观的例子，考虑

F(x,y,z)=(−y2,x2,0)\mathbf F(x,y,z)=\left(-\frac y2,\frac x2,0\right)

以及平面 z=0z=0 上半径为 aa、法线向上的圆盘 SS。其边界按逆时针方向行进。计算可得

∇×F=(0,0,1),\nabla\times\mathbf F=(0,0,1),

因此

∬S(∇×F)⋅n dS=πa2.\iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS =\pi a^2.

将边界参数化为

r(t)=(acos⁡t,asin⁡t,0),0≤t≤2π.\mathbf r(t)=(a\cos t,a\sin t,0), \qquad 0\leq t\leq2\pi.

此时 F(r(t))⋅r′(t)=a2/2\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)=a^2/2，所以

∮∂SF⋅dr=∫02πa22 dt=πa2.\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_0^{2\pi}\frac{a^2}{2}\,dt =\pi a^2.

分别计算得到的两个积分相等，符合经典定理的结论。(ocw.mit.edu)

定理为何成立

一种局部证明方法，是将曲面上的公式归结为参数域上的格林定理。对于足够光滑的参数化 r(u,v)\mathbf r(u,v)，定义

A=F(r)⋅ru,B=F(r)⋅rv.A=\mathbf F(\mathbf r)\cdot\mathbf r_u, \qquad B=\mathbf F(\mathbf r)\cdot\mathbf r_v.

由链式法则可得

∂B∂u−∂A∂v=(∇×F)(r)⋅(ru×rv).\frac{\partial B}{\partial u} - \frac{\partial A}{\partial v} = (\nabla\times\mathbf F)(\mathbf r) \cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v).

对 A du+B dvA\,du+B\,dv 应用格林定理，就能在该参数化曲面片上证明斯托克斯定理。(ocw.mit.edu)

对于由定向一致的曲面片拼成的曲面，可以将各曲面片的边界积分相加。每条内部边都会出现两次，且行进方向相反，因此相应的积分贡献互相抵消，最终只留下曲面的实际边界。这种抵消机制解释了该定理由局部到整体的结构。(live.ocw.mit.edu)

广义斯托克斯定理

在微分几何中，该定理用微分形式表述。若 MM 是一个紧致、定向、带边界的光滑 nn 维流形，ω\omega 是 MM 上的光滑 (n−1)(n-1) 形式，则

∫Mdω=∫∂Mι∗ω\boxed{ \int_M d\omega = \int_{\partial M}\iota^*\omega }

其中，dωd\omega 是外微分，ι∗ω\iota^*\omega 是 ω\omega 在边界上的限制，也就是沿边界包含映射的拉回。边界采用诱导定向，通常约定：将一个指向外侧的横截向量置于边界的正向基之前，所得到的基应与流形的定向一致。对于非紧致流形，相应版本使用紧支撑微分形式。(arxiv.org)

这一表述与坐标无关，也不需要度量张量。当用欧几里得几何表示微分形式时，才会出现熟悉的点积、法向量和旋度。在三维情形中，取

ω=P dx+Q dy+R dz\omega=P\,dx+Q\,dy+R\,dz

便可使 ω\omega 的积分成为环流积分，而 dωd\omega 的积分成为旋度的通量积分。(arxiv.org)

重要的特例包括：

  • **微积分基本定理：**在区间上，

    ∫abdf=f(b)−f(a).\int_a^b df=f(b)-f(a).

    两个端点具有相反的定向。

  • **格林定理：**在平面区域上对 P dx+Q dyP\,dx+Q\,dy 的外微分积分，得到的就是沿该区域边界的环流。

  • **散度定理：**对于

    ω=P dy∧dz+Q dz∧dx+R dx∧dy,\omega=P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy,

    微分形式 dωd\omega 为

    (∇⋅F) dx∧dy∧dz,(\nabla\cdot\mathbf F)\,dx\wedge dy\wedge dz,

    由此得到散度的体积分与穿过边界的向外通量相等。(ocw.mit.edu)

“开尔文–斯托克斯定理”专指三维空间中的旋度公式；“广义斯托克斯定理”则指用流形与微分形式表述的定理。

推论与应用

**与曲面的选择无关。**如果两个满足条件的定向曲面具有相同的定向边界，且向量场在两个曲面上均满足定理的假设，那么 ∇×F\nabla\times\mathbf F 通过这两个曲面的通量相同。因此，可以用一个更简单的曲面替代具有同一边界的复杂曲面。这并不意味着任意向量场的通量都与曲面的选择无关。(ocw.mit.edu)

**电磁学。**斯托克斯定理将麦克斯韦方程组中旋度方程的积分形式与微分形式联系起来。对于固定的闭合回路和以该回路为边界的固定曲面，在国际单位制下，法拉第电磁感应定律给出

∮∂SE⋅dr=−ddt∬SB⋅n dS.\oint_{\partial S}\mathbf E\cdot d\mathbf r = -\frac{d}{dt}\iint_S\mathbf B\cdot\mathbf n\,dS.

在适当的正则性假设下，应用斯托克斯定理并在积分号下求导，可得

∇×E=−∂B∂t.\nabla\times\mathbf E = -\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}.

该定理确立了这些数学表述之间的等价性，而物理定律本身则源于实验。(live.ocw.mit.edu)

**拓扑学。**若一个微分形式等于 dηd\eta，则称其为恰当形式；若其外微分为零，则称其为闭形式。斯托克斯定理表明，恰当形式在无边界的紧致定向流形上的积分为零。这将积分与拓扑学联系起来，也有助于解释为什么在寻找势函数时，定义域的整体性质十分重要。(arxiv.org)

假设与局限

经典公式要求曲面可定向，并且向量场在整个曲面上具有足够的正则性，而不仅仅是在边界上满足条件。莫比乌斯带等不可定向曲面不具有这一表述所要求的全局法线定向。奇点也不能被简单地忽略。(live.ocw.mit.edu)

特别地，旋度为零并不总意味着沿每一条闭曲线的环流都为零。一个标准例子是

F(x,y,z)=(−yx2+y2,xx2+y2,0),\mathbf F(x,y,z)= \left( -\frac{y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2}, 0 \right),

其定义域不包含 zz 轴。它在整个定义域内的旋度均为零，但沿 xyxy 平面中正向单位圆的环流却为 2π2\pi。通常选用的、以该圆为边界的圆盘与被排除的 zz 轴相交，而向量场在轴上没有定义，因此不能对这一圆盘应用斯托克斯定理。在单连通开区域上，连续可微的无旋场则确实存在标量势函数。(ocw.mit.edu)

历史背景

经典定理以乔治·加布里埃尔·斯托克斯的名字命名，他将这一定理列入了1854年剑桥大学史密斯奖考试的试题。威廉·汤姆森，即后来的开尔文勋爵，此前曾将这一结果告知斯托克斯。此后，该定理在电磁理论中的重要作用，使其成为向量微积分的标准内容。现代的微分形式表述所涵盖的原理，比最初的三维恒等式更为广泛。(maths.cam.ac.uk)

参考来源

  1. Part C: Line Integrals and Stokes' Theoremocw.mit.edu
  2. V13. Stokes' Theoremocw.mit.edu
  3. V15. Relation to Physicsocw.mit.edu
  4. Calculus, Chapter 15: Vector Calculuslive.ocw.mit.edu
  5. Lecture Notes on Differential Formsarxiv.org
  6. Analysis II, Lecture 38ocw.mit.edu
  7. Session 95: Stokes' Theorem and Surface Independenceocw.mit.edu
  8. Session 94: Simply Connected Regions; Topologyocw.mit.edu
  9. A History of Mathematics in Cambridgemaths.cam.ac.uk