法拉第电磁感应定律

法拉第电磁感应定律是电磁学的一条基本定律，将电磁感应与磁通量的变化联系起来。在常见的电路形式中，该定律指出：沿导电回路的感应电动势等于穿过该回路的磁通量变化率的负值。在场的形式中，它描述了时变磁场与电场环流之间的关系。这些表述是发电机、变压器和电感类电路元件的工作基础。(openstax.org)

磁通量与电路形式

穿过有向曲面 $S$ 的磁通量为

\Phi_B=\int_S\mathbf B\cdot d\mathbf A,

其中， $\mathbf B$ 为磁场， $d\mathbf A$ 为垂直于曲面的有向面积元。对于穿过面积为 $A$ 的平面的均匀磁场，

\Phi_B=BA\cos\theta,

其中， $\theta$ 是磁场与曲面法线之间的夹角，而不是磁场与曲面本身之间的夹角。因此，磁场变化、回路所围面积变化或回路取向变化，都可以引起磁通量的变化。(openstax.org)

对于单匝回路，定律的电路形式为

\boxed{\mathcal E=-\frac{d\Phi_B}{dt}}.

这里， $\mathcal E$ 为感应电动势。电动势虽然英文名称中带有“力”一词，但并不是力学意义上的力：它衡量的是沿电路一周作用于单位电荷的驱动力的积分，单位为伏特。在国际单位制中，磁通量的单位为韦伯，且 $1\,\mathrm{Wb/s}=1\,\mathrm V$ 。(feynmanlectures.caltech.edu)

对于匝数固定为 $N$ 、各匝串联且每匝所交链的磁通量相同的线圈，

\mathcal E=-N\frac{d\Phi_B}{dt}.

如果各匝所交链的磁通量不同，就应取各匝磁通量的代数和，而不能将任意一匝的磁通量乘以 $N$ 。(openstax.org)

方向：楞次定律

负号体现了楞次定律：感应电动势的方向，使其驱动的电流所产生的磁场阻碍引起感应的磁通量变化。沿回路的正方向与曲面法线的正方向由右手定则联系起来。(openstax.org)

例如，如果垂直指向回路平面内的外磁场增强，感应电流便会产生指向平面外的磁场。如果指向平面内的外磁场减弱，感应电流则会产生指向平面内的磁场，试图维持正在减小的磁通量。感应磁场阻碍的是磁通量的变化，不一定是外磁场本身。(openstax.org)

这一现象符合能量守恒。当一根导电棒作为闭合电阻电路的一部分，在磁场中被拉动时，感应电流会产生阻碍运动的磁力。维持运动所需的外力做功（物理学），为电路中耗散的电能提供来源。(openstax.org)

场的积分形式与微分形式

对于固定在空间中的闭合曲线 $C$ 及以它为边界的曲面 $S$ ，麦克斯韦—法拉第方程为

\boxed{ \oint_C\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell = -\frac{d}{dt}\int_S\mathbf B\cdot d\mathbf A }.

左边是电场沿闭合曲线的曲线积分。这条曲线不必是实际存在的导线：该方程也适用于空旷空间中假想的闭合路径。(feynmanlectures.caltech.edu)

其局域微分形式为

\boxed{\nabla\times\mathbf E =-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}}.

旋度衡量向量场的局部环流。斯托克斯定理将这一微分方程与积分形式联系起来。麦克斯韦—法拉第方程是描述经典电场和磁场的麦克斯韦方程组中的一条方程。(feynmanlectures.caltech.edu)

与静电学中的静电场不同，感应电场沿闭合路径的积分可以不为零。因此，一般来说，不能仅用单值标量电势的负梯度来表示感应电场。(feynmanlectures.caltech.edu)

静止电路与运动电路

电磁感应包含两种可以区分的贡献：

**感生电动势：**在静止电路中，变化的磁通量伴随着驱动电荷运动的环形电场。
**动生电动势：**在运动的导体中，电荷受到洛伦兹力中磁力部分的作用。(feynmanlectures.caltech.edu)

对于运动或形变的物质回路，这两种贡献合并为

\mathcal E = \oint_{C(t)} \left(\mathbf E+\mathbf u\times\mathbf B\right) \cdot d\boldsymbol\ell = -\frac{d}{dt}\int_{S(t)}\mathbf B\cdot d\mathbf A,

其中， $\mathbf u$ 是构成电路的物质在各处的运动速度。右边的导数同时包含磁场变化和曲面运动所引起的变化。(feynmanlectures.caltech.edu)

一个典型例子是长度为 $\ell$ 的导电棒以速度 $v$ 沿导轨滑动。如果导电棒、运动速度和均匀磁场三者两两垂直，则动生电动势的大小为

|\mathcal E|=B\ell v.

对于电阻为 $R$ 的闭合电路，忽略电感引起的暂态过程时，由欧姆定律可得 $I=B\ell v/R$ 。一根运动的孤立导电棒也可以在两端形成电势差，而不产生持续电流。(openstax.org)

历史发展

1831年8月29日，迈克尔·法拉第在英国皇家研究院用绕在铁环上的两个线圈演示了电磁感应。当一个线圈开始通电时，另一个线圈中便出现短暂的电流。这套装置展示了共用磁性结构、但在电气上彼此分离的电路之间的感应现象。(rigb.org)

随后，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦将法拉第的实验发现纳入了数学化的场论。现代的微分方程将电磁感应表述为电场与磁场之间的局域关系，而不再仅仅是适用于导线电路的规则。(feynmanlectures.caltech.edu)

应用

发电机与电动机的反电动势

发电机通过电磁感应将机械输入转化为电能输出。对于一个匝数为 $N$ 、面积为 $A$ 、在均匀磁场中以角速度 $\omega$ 转动的理想线圈，

\Phi_B=BA\cos(\omega t), \qquad \mathcal E=NBA\omega\sin(\omega t).

线圈取向的变化产生交变电动势，构成交流电产生过程的基本模型。电动机中的转动同样会产生反电动势，抵抗外加的电驱动作用。(openstax.org)

变压器

变压器利用变化的磁通量耦合初级绕组和次级绕组。当两个绕组交链同一磁通量且忽略损耗时，它们的电压大小满足

\frac{V_s}{V_p}=\frac{N_s}{N_p}.

匝数比决定电压是升高还是降低。恒定的直流电在开关暂态过程结束后无法维持变压作用：所交链的磁通量必须随时间变化。(openstax.org)

自感

变化的电流也会改变其自身电路所交链的磁通量。对于一个固定的线性电路，若其自感电感为 $L$ ，则

N\Phi_B=LI, \qquad \mathcal E_{\mathrm{self}}=-L\frac{dI}{dt}.

感应电动势阻碍的是电流的变化，而不是电流本身。如果 $L$ 发生变化，更一般的表达式为 $-d(LI)/dt$ 。电感器专门利用这一特性，普通导线中也存在这种现象。(openstax.org)

涡流

感应电流不仅可以在单独的导线回路中流动，也可以在块状电导体内部循环。这些涡流可用于磁阻尼、电磁制动和金属探测。它们也会在变压器铁芯中造成不必要的损耗；采用相互绝缘的叠片，可以限制电流通路，从而减少这些损耗。(openstax.org)

适用范围与注意事项

法拉第定律确定的是感应电动势，而不是完整的电流响应。产生的电流还取决于电阻、电感以及电路的其他部分。尤其是在电感动态效应显著的电路中，不能一般性地用 $\mathcal E/R$ 代替对电路的求解。(openstax.org)

应用运动回路的磁通量法则时，必须仔细确定由导电物质构成的实际电路。在具有滑动接触或大块导电体的装置中，例如旋转的导电圆盘，按几何形状选定的“电路”不一定随导体一起运动。简单磁通量计算看似失效，并不意味着麦克斯韦—法拉第方程失效：必须针对电荷的实际路径，计算电场环流和洛伦兹磁力的贡献。(feynmanlectures.caltech.edu)

参考来源

1 Faraday’s Law - University Physics Volume 2openstax.org
2 Faraday’s Law of Induction: Lenz’s Law - College Physics 2eopenstax.org
3 Motional Emf - University Physics Volume 2openstax.org
Michael Faraday’s ring-coil apparatusrigb.org
6 Electric Generators and Back Emf - University Physics Volume 2openstax.org
7 Transformers - College Physics 2eopenstax.org
2 Self-Inductance and Inductors - University Physics Volume 2openstax.org
5 Eddy Currents - University Physics Volume 2openstax.org