洛伦兹力 · aiwiki.page

洛伦兹力是电场和磁场对携带电荷的粒子施加的力。它由电场力和磁场力两部分组成：电场力取决于电荷量和电场强度，磁场力还取决于粒子的速度。洛伦兹力定律与麦克斯韦方程组共同构成经典电磁学的核心描述：麦克斯韦方程组确定电磁场，而洛伦兹力定律确定带电物质如何响应这些场。(feynmanlectures.caltech.edu)

数学表述

在国际单位制（SI）中，洛伦兹力定律写作

\mathbf F=q\left(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B\right),

其中， $q$ 是粒子带正负号的电荷量， $\mathbf v$ 是粒子的速度， $\mathbf E$ 和 $\mathbf B$ 是粒子在该时刻所处位置的电场和磁场。所有物理量均在同一参考系中定义。乘号 $\times$ 表示向量叉积，而非普通的标量乘法。力的单位是牛顿，电场的单位是伏特每米，磁场的单位是特斯拉。(feynmanlectures.caltech.edu)

电场力为 $\mathbf F_E=q\mathbf E$ 。对于正电荷，它与电场方向相同；对于负电荷，它与电场方向相反。磁场力为 $\mathbf F_B=q\,\mathbf v\times\mathbf B$ ，其大小为

F_B=|q|vB\sin\theta,

其中， $\theta$ 是速度与磁场之间的夹角。当电荷静止，或运动方向与磁场平行、反平行时，磁场力为零。对于正电荷，磁场力的方向由右手定则确定；对于负电荷，方向则相反。因此，以相同速度运动的电子和质子会向相反方向偏转。(feynmanlectures.caltech.edu)

这一方程是一条局域力定律，并不要求电磁场必须均匀或不随时间变化。将它与运动方程以及给定的电磁场时空分布结合，即可求得粒子的运动轨迹。(damtp.cam.ac.uk)

功与能量

磁场力的一个显著性质是始终垂直于粒子的速度。因此，它对点电荷做功（物理学）的瞬时功率为零：

\mathbf F_B\cdot\mathbf v=0.

粒子动能的变化率因而为

\frac{dK}{dt}=\mathbf F\cdot\mathbf v =q\,\mathbf E\cdot\mathbf v.

电场可以改变粒子的速率和能量；而在这一理想化描述中，单独的磁场只改变粒子的运动方向，不改变其动能。(openstax.org)

这一区别解释了为什么磁场偏转和电场加速在带电粒子仪器中承担不同的功能：磁场用于引导粒子束，电场则用于增加或减少粒子束的动能。(pressbooks.online.ucf.edu)

均匀场中的运动

在非相对论的经典力学中，质量为 $m$ 的粒子满足

m\frac{d\mathbf v}{dt} =q\left(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B\right).

当电场为零、磁场均匀时，垂直于磁场方向的运动是圆周运动，磁场力提供向心力。轨道半径和角频率分别为

r=\frac{mv_\perp}{|q|B}, \qquad \omega_c=\frac{|q|B}{m},

其中， $v_\perp$ 是垂直于磁场的速度分量。 $\omega_c$ 称为回旋角频率。这些表达式以其他力和辐射损失均可忽略为前提。(openstax.org)

若平行于磁场的速度分量不为零，该分量会保持不变，使粒子的轨迹呈螺旋线。运动方向完全平行于磁场时，轨迹为直线；完全垂直于磁场时，轨迹为圆。旋转方向取决于电荷的正负。(openstax.org)

相互垂直的电场和磁场也可以使合力为零。对于运动方向同时垂直于两个场、且电场力与磁场力方向相反的粒子束，不发生偏转的条件是 $v=E/B$ 。速度选择器利用这一条件，让具有选定速率的粒子通过；这一选择与粒子的质量无关，对于电荷量非零的粒子，也与电荷量的大小无关。(pressbooks.online.ucf.edu)

电流与连续电荷分布

洛伦兹力定律可以从单个粒子推广到连续电荷分布。对于电荷密度 $\rho$ 和电流密度 $\mathbf J$ ，单位体积所受力的表达式为

\mathbf f=\rho\mathbf E+\mathbf J\times\mathbf B.

对这一力密度在相应体积内积分，即可得到总力。这一表述将单个带电粒子的运动与具有空间分布的物质所受的电磁力联系起来。(scipp.ucsc.edu)

对于细载流导线，一小段线元所受的磁场力为

d\mathbf F=I\,d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf B,

其中， $d\boldsymbol{\ell}$ 沿约定的电流方向。在均匀磁场中，一段直导线所受的力为 $\mathbf F=I\boldsymbol{\ell}\times\mathbf B$ 。这些表达式描述了电导体中运动电荷载流子所受的力。均匀磁场中的闭合电流回路所受的磁场合力为零，但可能受到力矩作用，这正是许多电动机的工作原理。(openstax.org)

相对论描述

在相对论速度下，洛伦兹力仍保持其三维矢量形式，但运动方程必须使用相对论动量：

\frac{d\mathbf p}{dt} =q\left(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B\right), \qquad \mathbf p=\gamma m\mathbf v,

其中， $\gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}$ ， $c$ 为光速。在这样的速度下，通常不能用 $m\,d\mathbf v/dt$ 代替 $d\mathbf p/dt$ 。(feynmanlectures.caltech.edu)

电场和磁场在洛伦兹变换下会相互混合。在一个惯性系中部分归因于磁场的力，在另一个惯性系中可能有不同的描述。它们统一的相对论表达式为

\frac{dp^\mu}{d\tau}=qF^{\mu\nu}u_\nu,

其中， $\tau$ 是固有时， $u_\nu$ 是四维速度， $F^{\mu\nu}$ 是电磁场张量，各量的符号约定须保持一致。(damtp.cam.ac.uk)

历史背景与应用

这一定律以亨德里克·安东·洛伦兹命名。他的电子理论发展了詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的电磁理论，使其能够解释物质中的电学和光学现象。洛伦兹的工作将微观带电粒子与可观测的电磁行为联系起来。(nobelprize.org)

其应用包括通过离子的偏转来区分离子的磁扇形质谱法，以及将电场加速与磁场引导相结合的粒子加速器。在回旋加速器中，磁场使粒子沿一圈又一圈的轨道运动，粒子则反复受到电场加速；非相对论条件下，回旋频率近似不随能量变化，因此可以与交变加速电场保持同步。(pressbooks.online.ucf.edu)