磁通量量子化是一种超导现象：足够厚的超导环所俘获的磁通量只能取某个普适单位的整数倍。这个单位就是磁通量子，(\Phi_0=h/(2e))。更一般地说，量子化的量是磁通子，它由磁通量和环流超电流的贡献共同组成。这一现象将量子力学与宏观电磁行为联系起来，并为超导凝聚态以 (2e) 为单位携带电荷提供了证据。(feynmanlectures.caltech.edu)
磁通量及其量子
[ \Phi=\int_S\mathbf B\cdot d\mathbf S. ]
对于超导环，在电流对磁通子的贡献可以忽略的极限下，允许的磁通量值满足
[ \Phi=n\Phi_0,\qquad n\in\mathbb Z. ]
这个整数可以为正、为负或为零，具体取决于俘获磁通量的方向和大小。这一条件约束的是积分得到的磁通量，并不要求各处的局部磁场都只能取离散值。(feynmanlectures.caltech.edu)
在国际单位制中，
[ \Phi_0=\frac{h}{2e} =2.067833848\ldots\times10^{-15}\ \mathrm{Wb}, ]
其中 (h) 为普朗克常数，(e) 为取正值的元电荷，Wb 表示韦伯。由于 (h) 和 (e) 在国际单位制中的数值都是精确值，因此上述定义式也是精确的；所列小数则经过了截断。(physics.nist.gov)
源于超导相位相干性
超导凝聚态在宏观上可用一个复序参量描述：
[ \Psi(\mathbf r)=|\Psi(\mathbf r)|e^{i\theta(\mathbf r)}. ]
其相干相位延伸至整个环。由于沿闭合路径 (C) 绕行一周后，(\Psi) 必须回到原来的值，因此相位的变化只能是 (2\pi) 的整数倍：
[ \oint_C\nabla\theta\cdot d\mathbf l=2\pi n. ]
整数 (n) 称为相位绕数。这个单值性条件就是磁通子量子化的量子力学根源。(wmi.badw.de)
对于带符号电荷为 (q)、有效质量为 (m^\ast) 的凝聚态载流子，其超流速度满足
[ m^\ast\mathbf v_s=\hbar\nabla\theta-q\mathbf A, ]
其中 (\mathbf A) 为磁矢势。沿闭合路径积分，并应用斯托克斯定理，可得
[ m^\ast\oint_C\mathbf v_s\cdot d\mathbf l+q\Phi=nh. ]
因此，量子的大小取决于凝聚态载流子的电荷绝对值。对于库珀对，(|q|=2e)，由此得到 (h/(2e))；电荷的符号可以吸收到绕数的定义中。(feynmanlectures.caltech.edu)
磁通子与磁通量的区别
在伦敦理论中，对于均匀超导体，量子化条件可写为
[ \Phi_{\mathrm f} =\Phi+\mu_0\lambda_L^2 \oint_C\mathbf j_s\cdot d\mathbf l =n\Phi_0, ]
其中 (\mathbf j_s) 为超导电流密度，(\lambda_L) 为伦敦穿透深度，(\mu_0) 为真空磁导率。等式左侧的表达式就是磁通子。(wmi.badw.de)
如果环壁厚度远大于 (\lambda_L)，就可以在材料深处选取一条超电流可忽略的闭合路径。此时，磁通子近似等于磁通量。在细导线或薄膜中，电流的贡献可能仍然很大，因此磁通量本身不一定等于 (n\Phi_0)。这一条件中的磁通量是总磁通量，既包括外加磁场的贡献，也包括环流产生的磁场的贡献。(wmi.badw.de)
这一区别也将超导性与经典的理想导电性区分开来。经典理想导体环可以保持任意的初始磁通量，而超导量子化还要求相干凝聚态的相位满足单值性。(feynmanlectures.caltech.edu)
环、涡旋与绕数的变化
几何形状的影响体现在拓扑学性质上。围绕环孔的闭合路径无法在超导材料内部连续收缩为一个点，因此可以具有非零的相位绕数。在序参量非零且无奇点的区域内，可收缩的闭合路径的绕数为零。(wmi.badw.de)
在Ⅱ型超导体中，磁通量可以通过阿布里科索夫涡旋穿入。每个基本涡旋都有一个超导性受到抑制的核心，周围则有环流超电流。绕核心一周，相位变化为 (2\pi)；若计入完整的磁场分布，一个孤立的基本涡旋携带一个磁通量子。量子化并不意味着其磁场在空间中均匀分布，也不意味着磁场完全局限于核心内部。(webapps.ps.uci.edu)
随着外加磁场变化，超导环可以保持在某个亚稳的绕数态中。向另一个绕数态的转变通过相位滑移发生；在这一过程中，序参量在局部受到抑制，其相位绕数随之改变。这类转变可由热激活、量子隧穿或分隔亚稳态的势垒消失引起。转变速率取决于温度、几何形状及系统的能量景观；仅凭量子化条件，无法确定转变何时发生。(nature.com)
实验发现
巴斯科姆·迪弗与威廉·费尔班克，以及罗伯特·多尔与马丁·内鲍尔，分别在 1961 年 7 月 15 日发表的论文中独立报告了直接证据。两组实验都使用小型空心超导圆柱，并测量其中俘获的磁通量。观测到的磁通量间隔对应于 (h/(2e))，而不是与单电子电荷对应的 (h/e) 尺度。(physics.aps.org)
弗里茨·伦敦此前已根据超导波函数的单值性要求预言了磁通量量子化。实验测得的因子 2 支持了电子配对，而电子配对正是BCS理论的核心特征之一。妮娜·拜尔斯与杨振宁，以及拉尔斯·昂萨格的分析，阐明了量子化磁通量与成对载流子之间的关系。(physics.umd.edu)
应用与修正的量子化条件
超导量子干涉仪（SQUID）由超导回路与一个或多个约瑟夫森结组合而成。磁通子量子化将结两端的相位差与回路所围磁通量联系起来。对于回路电感可忽略的理想对称双结 SQUID，
[ I_{c,\mathrm{SQUID}}(\Phi) =2I_{c,\mathrm j} \left|\cos\left(\frac{\pi\Phi}{\Phi_0}\right)\right|, ]
其中 (I_{c,\mathrm j}) 为任一结的临界电流。这种周期性响应使高灵敏度磁通量测量成为可能；它并不要求外加磁通量本身只能取离散值。(wmi.badw.de)
通常的整数倍规则假定沿回路不存在额外的内禀相移。如果一个环含有奇数个具有内禀 (\pi) 相移的结，则可以出现半整数磁通态；当电流修正可忽略时，近似有
[ \Phi=\left(n+\frac12\right)\Phi_0 ]
对适当设计的铜氧化物超导环中自发半磁通态的测量，已被用于研究超导序参量的变号对称性。这些状态改变的是回路的相位条件，而不是 (\Phi_0) 的数值。(wmi.badw.de)
参考来源
- Applied Superconductivity, Chapter 1wmi.badw.de
- CODATA Value: magnetic flux quantumphysics.nist.gov
- 2022 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constantsphysics.nist.gov
- Introduction to Superconductivitywebapps.ps.uci.edu
- Deterministic phase slips in mesoscopic superconducting ringsnature.com
- Landmarks—Superconductor Quantizes Magnetic Fieldphysics.aps.org
- Experimental Evidence for Quantized Flux in Superconducting Cylinders; Theoretical Considerations Concerning Quantized Magnetic Flux in Superconducting Cylindersphysics.umd.edu
- Christoph Scheuer, Master’s Thesiswmi.badw.de
- Superconductivity and Low Temperature Physics I, Chapter 7wmi.badw.de