微分形式 · aiwiki.page

微分形式是一种可以在定向曲线、曲面或更高维空间上积分的数学对象。在光滑流形上， $k$ 次微分形式在每一点给出一个以 $k$ 个切向量为自变量的交替多重线性函数，并且随该点光滑变化。微分形式为微积分提供了一种不依赖坐标的语言，将微分和积分与微分几何及拓扑学联系起来。其核心运算是楔积、外微分和拉回。(arxiv.org)

定义与局部表达式

设 $M$ 是一个 $n$ 维光滑流形。在点 $p$ 处，其切空间 $T_pM$ 是由无穷小方向组成的向量空间。它的对偶空间 $T_p^*M$ 称为余切空间，由作用在这些方向上的线性函数组成。点 $p$ 处的 $k$ 次形式是一个交替的多重线性映射

\omega_p:(T_pM)^k\longrightarrow\mathbb R.

交替性是指交换任意两个自变量都会使结果变号；因此，只要有两个自变量相同，函数值就为零。由此可见，光滑微分形式是一类特殊的协变张量场。(arxiv.org)

在坐标 $x^1,\ldots,x^n$ 下，每个 $k$ 次形式都可以唯一地写成

\omega=\sum_{i_1<\cdots<i_k} a_{i_1\cdots i_k}(x)\, dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k},

其中系数函数是光滑的。坐标微分构成每个余切空间的一组基。在任一点处， $k$ 次形式构成的空间维数为 $\binom nk$ ，而次数大于 $n$ 的形式均为零。记号 $\Omega^k(M)$ 表示光滑 $k$ 次形式的空间。 $0$ 次形式就是光滑的实值函数。(ocw.mit.edu)

楔积

余向量的外代数提供了楔积运算，记作 $\wedge$ 。它将一个 $k$ 次形式 $\alpha$ 和一个 $\ell$ 次形式 $\beta$ 组合成一个 $(k+\ell)$ 次形式，并满足

\alpha\wedge\beta=(-1)^{k\ell}\beta\wedge\alpha.

楔积满足结合律和分配律。对于坐标 $1$ 次形式，有

dx\wedge dy=-dy\wedge dx,\qquad dx\wedge dx=0.

在平面上，

(a\,dx+b\,dy)\wedge(c\,dx+e\,dy) =(ae-bc)\,dx\wedge dy.

其系数是一个行列式，体现了交替 $2$ 次形式所表示的有向面积。这种反对称性使楔积区别于普通乘法和不施加交替性约束的张量积。(math.stanford.edu)

外微分

外微分是一个线性算子

d:\Omega^k(M)\longrightarrow\Omega^{k+1}(M).

它作用于函数时给出

df=\sum_i\frac{\partial f}{\partial x^i}\,dx^i,

其中的系数是偏导数。对于坐标表达式 $\omega=\sum_I a_I\,dx^I$ ，外微分定义为

d\omega=\sum_I da_I\wedge dx^I.

虽然这个公式使用了坐标，但所定义的算子是内蕴的。它满足分次乘积法则

d(\alpha\wedge\beta) =d\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge d\beta

以及基本恒等式 $d^2=0$ 。(ocw.mit.edu)

例如，

d(P\,dx+Q\,dy) =\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\wedge dy.

这与平面上的旋度相似。在三维欧几里得空间中，通过适当地将微分形式与标量场、向量场对应起来，梯度、旋度和散度都可以用同一个算子 $d$ 表示。与这些对应关系不同，外微分本身既不需要度量张量，也不需要定向。(math.stanford.edu)

拉回与积分

光滑映射 $F:M\to N$ 通过拉回将 $N$ 上的形式带回 $M$ ：

(F^*\omega)_p(v_1,\ldots,v_k) =\omega_{F(p)}(dF_pv_1,\ldots,dF_pv_k).

这里， $dF_p$ 是切空间之间由 $F$ 诱导的线性映射。拉回保持楔积，并与外微分可交换：

F^*(d\omega)=d(F^*\omega).

即使 $F$ 不可逆，或者两个流形的维数不同，拉回仍然有定义。(ocw.mit.edu)

在定向的 $k$ 维区域上对 $k$ 次形式积分，是通过坐标参数化将其拉回后进行的。对于曲线 $\gamma:[a,b]\to M$ ，由此得到曲线积分

\int_\gamma\omega =\int_a^b\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))\,dt.

变换坐标时会引入雅可比矩阵的带符号行列式。反转定向会使积分变号。因此，微分形式的积分不同于关于正测度的积分，后者使用雅可比行列式的绝对值。(arxiv.org)

广义斯托克斯定理指出，对于一个带边界的紧致定向 $k$ 维流形 $S$ 和一个光滑的 $(k-1)$ 次形式 $\eta$ ，有

\int_S d\eta=\int_{\partial S}\eta,

其中边界采用由 $S$ 诱导的定向。该定理涵盖了微积分基本定理、格林定理、经典的曲面斯托克斯定理以及散度定理。(math.mit.edu)

闭形式与整体拓扑

若 $d\omega=0$ ，则称形式 $\omega$ 为闭形式；若 $\omega=d\eta$ ，则称其为恰当形式。由于 $d^2=0$ ，每个恰当形式都是闭形式。庞加莱引理指出，次数为正的闭形式局部上都是恰当的；在欧几里得空间的星形开子集上，它们也都是恰当的。然而，整体上的恰当性可能不成立。(math.mit.edu)

在去掉原点的平面上，

\omega=\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2}

是闭形式，但沿逆时针方向的单位圆积分为 $2\pi$ 。它不可能是某个全局定义的实值函数的微分，因为这样的微分沿任意闭曲线的积分都为零。在局部，它是角坐标的微分。(math.mit.edu)

德拉姆上同调通过以下商向量空间刻画这一障碍：

H_{\mathrm{dR}}^k(M) =\frac{\ker(d:\Omega^k\to\Omega^{k+1})} {\operatorname{im}(d:\Omega^{k-1}\to\Omega^k)}.

当两个闭形式之差是恰当形式时，它们代表同一个上同调类。因此，光滑形式上的微分运算蕴含着无法在单个坐标邻域中探测到的整体拓扑信息。(math.mit.edu)

参考来源

Lecture Notes on Differential Formsarxiv.org
Differential Forms and Hodge Theorymath.mit.edu
Thomas Church - Notesmath.stanford.edu
Lecture Notes — Analysis IIocw.mit.edu
02 lecture notes, Fall 2021math.mit.edu