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数学 / covariant-derivative

协变导数

协变导数利用联络对向量场和张量场求导，使结果不依赖所选的坐标或局部标架。

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微分几何方向导数流形张量场切空间张量基（线性代数）爱因斯坦求和约定协变导数

协变导数是微分几何中的一种运算，将方向导数推广到光滑流形上的向量场、张量场和向量丛截面。它利用选定的联络来计入局部标架在不同点之间的变化。与直接对分量求导不同，协变导数给出具有几何意义的结果，在坐标或标架改变时按相应规律变换。一般而言，仅有流形本身并不能确定唯一的协变导数。(math.stanford.edu)

几何动机与定义

对于标量函数，沿向量场 XX 的导数具有内在定义，即 X(f)X(f)。对于向量，情况则不同：不同点处的向量属于不同的切空间，因此它们的差本身并没有内在意义。联络提供了求导所需的额外结构。与之对应的协变导数记为 ∇XY\nabla_XY，表示 YY 沿 XX 方向的导数。(damtp.cam.ac.uk)

对于光滑向量场 X,Y,ZX,Y,Z 和光滑函数 f,gf,g，定义协变导数的规则包括

∇fX+gYZ=f∇XZ+g∇YZ,\nabla_{fX+gY}Z=f\nabla_XZ+g\nabla_YZ,
∇X(Y+Z)=∇XY+∇XZ,∇X(fY)=X(f)Y+f∇XY.\nabla_X(Y+Z)=\nabla_XY+\nabla_XZ, \qquad \nabla_X(fY)=X(f)Y+f\nabla_XY.

因此，协变导数对表示方向的变量具有关于光滑函数的线性性，而对被求导的场则满足乘积法则。这一区别说明了为什么联络本身不是张量：其值依赖于被求导场的一阶导数。(damtp.cam.ac.uk)

坐标表达式

选取局部坐标 xix^i 及其坐标基 ∂i\partial_i。用下式定义联络系数：

∇∂i∂j=Γkij∂k.\nabla_{\partial_i}\partial_j=\Gamma^k{}_{ij}\partial_k.

对于 Y=Yj∂jY=Y^j\partial_j，有

(∇iY)k=∂iYk+ΓkijYj.(\nabla_iY)^k=\partial_iY^k+\Gamma^k{}_{ij}Y^j.

重复出现的上、下指标按照爱因斯坦求和约定求和。第一项对分量求导，第二项则计入联络对基的作用。这些系数并不是张量分量，但它们与偏导数组合后得到的结果具有张量性。(damtp.cam.ac.uk)

对于协向量场 ωj\omega_j，诱导的导数为

∇iωj=∂iωj−Γkijωk.\nabla_i\omega_j=\partial_i\omega_j-\Gamma^k{}_{ij}\omega_k.

负号保证了求导与标量配对 ω(Y)\omega(Y) 相容。将这一运算推广到张量积后，每个上指标对应一个正的联络项，每个下指标对应一个负的联络项。例如，

∇iTab=∂iTab+ΓaicTcb−ΓcibTac.\nabla_iT^a{}_b =\partial_iT^a{}_b +\Gamma^a{}_{ic}T^c{}_b -\Gamma^c{}_{ib}T^a{}_c.

因此，若 TT 是 (p,q)(p,q) 型张量，则 ∇T\nabla T 是 (p,q+1)(p,q+1) 型张量。协变求导也与张量缩并相容。(damtp.cam.ac.uk)

莱维-奇维塔联络

度量张量 gg 通过 **莱维-奇维塔联络**确定一种特殊的协变导数。它是唯一既与度量相容，即满足 ∇g=0\nabla g=0，又具有零挠率的联络。对于任意向量场，挠率为

T(X,Y)=∇XY−∇YX−[X,Y],\mathcal T(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y],

其中 [X,Y][X,Y] 是二者的李括号。度量相容性意味着，对度量配对求导时满足乘积法则。(math.mit.edu)

在坐标下，莱维-奇维塔联络的系数就是克里斯托费尔符号：

Γkij=12gkℓ(∂igjℓ+∂jgiℓ−∂ℓgij),\Gamma^k{}_{ij} =\frac12g^{k\ell} \left(\partial_i g_{j\ell} +\partial_j g_{i\ell} -\partial_\ell g_{ij}\right),

其中 gkℓg^{k\ell} 表示逆度量。同样的构造也适用于非退化的不定度量，包括相对论中使用的度量。(math.mit.edu)

联络系数非零并不一定意味着存在曲率。例如，将这一公式应用于极坐标下的欧几里得平面，

ds2=dr2+r2dθ2,ds^2=dr^2+r^2d\theta^2,

可得

Γrθθ=−r,Γθrθ=Γθθr=1/r.\Gamma^r{}_{\theta\theta}=-r,\qquad \Gamma^\theta{}_{r\theta} =\Gamma^\theta{}_{\theta r}=1/r.

这些项描述的是平坦空间中坐标基的变化，而不是内在曲率。(damtp.cam.ac.uk)

平行移动、测地线与曲率

沿曲线 γ(t)\gamma(t)，联络定义了

DVkdt=dVkdt+Γkijγ˙iVj.\frac{DV^k}{dt} =\frac{dV^k}{dt} +\Gamma^k{}_{ij}\dot\gamma^iV^j.

满足 DV/dt=0DV/dt=0 的向量场沿该曲线是平行的。求解这一微分方程，便定义了曲线上各点的切空间之间的平行移动。对于莱维-奇维塔联络，以仿射参数表示的测地线满足

∇γ˙γ˙=0:\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0:

也就是说，其速度向量沿自身轨迹保持平行。(math.stanford.edu)

曲率衡量协变导数不对易的程度。采用一种常见的符号约定，有

R(X,Y)Z=∇X∇YZ−∇Y∇XZ−∇[X,Y]Z.R(X,Y)Z =\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z.

对于莱维-奇维塔联络，这一定义给出了黎曼曲率张量。其中的李括号项消去了方向向量场不对易所造成的贡献。曲率与挠率是不同的性质；挠率为零并不意味着曲率为零。(math.mit.edu)

向量丛与物理应用

这一构造可推广到向量丛 E→ME\to M。联络对光滑截面 ss 沿 XX 求导，并满足

∇X(fs)=X(f)s+f∇Xs.\nabla_X(fs)=X(f)s+f\nabla_Xs.

在局部标架中，它可写为 ∇=d+A\nabla=d+A，其中 AA 是矩阵值的微分 1-形式。标架变换会改变 AA，但不会改变其背后的几何运算。(math.stanford.edu)

在广义相对论中，莱维-奇维塔导数提供了与时空几何相容的求导方式。旋量场则需要相应的自旋联络。在规范理论中，规范联络同样用于补偿内部标架随位置发生的变化。例如，电动力学中的一种约定是

Dμψ=(∂μ+ieAμ)ψ.D_\mu\psi=(\partial_\mu+ieA_\mu)\psi.

在变换 Aμ↦Aμ+∂μλA_\mu\mapsto A_\mu+\partial_\mu\lambda 和 ψ↦e−ieλψ\psi\mapsto e^{-ie\lambda}\psi 下，该导数按 Dμψ↦e−ieλDμψD_\mu\psi\mapsto e^{-ie\lambda}D_\mu\psi 变换，不会出现变换参数的额外导数项。(damtp.cam.ac.uk)