切空间

切空间是与光滑流形上的某一点相联系的向量空间，表示经过该点的运动所能具有的瞬时方向和速度。对于流形 $M$ 上的点 $p$，其切空间记为 $T_pM$，是曲线的切线和曲面的切平面概念的推广。若 $M$ 的维数为 $n$，则 $T_pM$ 是一个 $n$ 维实向量空间。切空间提供了在流形上定义微分所需的局部线性结构。(web.stanford.edu)

几何解释

对于欧几里得空间 $\mathbb{R}^N$ 中的光滑子流形 $M$，点 $p$ 处的切空间可视为所有位于 $M$ 内且满足 $\gamma(0)=p$ 的光滑曲线的速度向量 $\gamma'(0)$ 所构成的集合。这个集合是 $\mathbb{R}^N$ 的一个线性子空间，其维数等于 $M$ 的维数，而不一定等于环境空间的维数。若局部参数化 $\phi$ 满足 $\phi(0)=p$，则切空间可视为 $d\phi_0$ 的像。(web.stanford.edu)

向量空间 $T_pM$ 必须与平移后得到的仿射空间 $p+T_pM$ 区分开来，后者才是画成经过 $p$ 的切线或切平面。前者包含零向量，后者经过切点。对于抽象流形，无须借助环境欧几里得空间：切向量可由光滑结构内在地定义。(ocw.mit.edu)

用曲线定义

在无边界光滑流形上，考虑光滑曲线

如果两条这样的曲线在坐标中的速度相同，即

则它们表示同一个切向量，其中 $\varphi$ 是 $p$ 附近的坐标图。链式法则保证，在一个坐标图中相同的速度，在每个坐标图中也都相同。因此，切向量就是在 $p$ 处具有相同一阶行为的曲线所构成的等价类。(math.stanford.edu)

通过坐标，可以将通常的向量加法和标量乘法转移到这些等价类上。每个坐标速度都能由一条局部曲线实现，因此所得空间的维数为 $n$。重要的是，切向量记录的是速度，而不只是未参数化的路径：将 $\gamma(t)$ 替换为 $\gamma(at)$，会使其速度乘以 $a$。因此，曲线即使描绘同一条路径，也可能表示不同的切向量。(math.stanford.edu)

用导子定义

一种等价的定义将切向量视为沿某个方向求导的算子。设 $C^\infty(M)$ 表示 $M$ 上光滑实值函数构成的代数。点 $p$ 处的导子是一个实线性映射

满足逐点乘积法则

这些导子构成的向量空间可自然地与 $T_pM$ 等同起来。也可以等价地使用定义在 $p$ 附近的函数，并将那些在 $p$ 的某个邻域内相同的函数视为同一个对象。(math.stanford.edu)

表示 $v$ 的曲线通过下式作用于光滑函数：

这就将几何上的速度与方向导数联系起来。导子表述尤其有用，因为它无须借助嵌入或选定的参数化就能定义切向量。(math.stanford.edu)

坐标与微分

局部坐标 $x^1,\ldots,x^n$ 确定了 $T_pM$ 的一组基：

因此，每个切向量都可唯一地表示为

它对函数的作用可利用该函数坐标表达式的偏导数来计算。换用坐标 $y^j$ 时，其分量按下式变换：

分量发生变化，但向量本身不变。(math.mit.edu)

光滑映射 $F:M\to N$ 诱导出其微分，也称推前：

它将一条曲线的速度映射为复合曲线 $F\circ\gamma$ 的速度。在坐标中，这个线性映射由雅可比矩阵表示。微分满足

从而将通常的求导推广到流形上。(math.mit.edu)

嵌入情形的例子与约束

对于单位球面 $S^{n-1}\subset\mathbb{R}^n$，

因此，按欧几里得内积衡量，其切空间是径向方向的正交补。在 $S^2$ 的北极，切空间由向量 $(a,b,0)$ 构成，而仿射切平面则由点 $(a,b,1)$ 构成。(math.ucla.edu)

更一般地，若光滑映射 $F:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^k$ 满足 $M=F^{-1}(c)$，且 $c$ 是正则值，则

因此，切空间是线性化约束的核。由秩—零化度定理，其维数为 $N-k$。正则性假设至关重要：带有奇点的零点集未必是流形，而定义该零点集的映射之微分的核，也未必能描述其中曲线的速度。(web.stanford.edu)

切丛与附加结构

不交并

构成切丛，它是 $M$ 上的一个向量丛。对于 $n$ 维流形，其总空间的维数为 $2n$；局部上可将其等同于 $U\times\mathbb{R}^n$。光滑向量场以光滑的方式为每个点指定一个切向量。局部上的这种等同，并不意味着所有切空间之间存在典范的全局等同。(math.ucla.edu)

对偶空间 $T_p^*M$ 称为余切空间。对于光滑标量函数，$df_p$ 属于这个对偶空间。黎曼度量张量为每个切空间提供一个内积，使我们能够测量长度和角度，并通过

定义梯度。这些度量概念需要切空间本身以外的附加结构。(math.stanford.edu)