向量空间的对偶空间是由该空间上的标量值线性泛函构成的向量空间。泛函为每个向量赋予一个标量，并保持加法和标量乘法。在线性代数中，对偶空间包含所有这样的泛函；在泛函分析中，“对偶空间”通常指连续对偶空间，其中只包含连续线性泛函。这些构造区分了向量本身与对向量进行的线性测量。(stat.uchicago.edu)
代数定义
设 (V) 是域（数学） (\mathbb F) 上的向量空间。其代数对偶空间为 [ V^*=\operatorname{Hom}_{\mathbb F}(V,\mathbb F). ] 其中的元素 (\varphi) 称为线性泛函或协向量，是满足下式的线性映射： [ \varphi(av+bw)=a\varphi(v)+b\varphi(w). ] 加法和标量乘法逐点定义为： [ (\varphi+\psi)(v)=\varphi(v)+\psi(v),\qquad (a\varphi)(v)=a\varphi(v). ] 求值配对 ((\varphi,v)\mapsto\varphi(v)) 对两个变量分别都是线性的，且不需要内积。(stat.uchicago.edu)
例如，在 (\mathbb F^n) 上，每个泛函都具有以下形式： [ \varphi(x)=a_1x_1+\cdots+a_nx_n. ] 因此，当向量用列向量表示时，泛函可以用行向量表示。这个表达式类似于点积，但其定义纯粹是代数性的：在复数域上，这种配对不涉及复共轭。(linear.axler.net)
对偶基与坐标
若 (V) 有一组有限的基（线性代数） (e_1,\ldots,e_n)，则相应的对偶基 (e^1,\ldots,e^n) 由以下条件唯一确定： [ e^i(e_j)=\delta_{ij}, ] 其中，当 (i=j) 时，(\delta_{ij}) 等于一，否则等于零。因此，(e^i) 提取第 (i) 个坐标。若 (v=\sum_i x_i e_i)，则 [ e^i(v)=x_i,\qquad \varphi=\sum_i\varphi(e_i)e^i. ] 由此可得 (\dim V^*=\dim V)，所以有限维空间与其对偶空间同构。不过，通过将 (e_i) 映到 (e^i) 而得到的对应关系依赖于所选的基。(stat.uchicago.edu)
若新基向量与旧基向量通过可逆矩阵 (P) 联系起来，则向量坐标按 (P^{-1}) 变换，而泛函的行坐标按 (P) 变换。这两种方向相反的变换使标量 (\varphi(v)) 保持不变。在无限维情形下，与代数基相对应的坐标泛函通常不能张成整个代数对偶空间：指定一个泛函时，可以任意指定它在所有基向量上的值，而不必只有有限多个非零值。(linear.axler.net)
对偶映射与零化子
线性映射 (T:V\to W) 诱导出一个方向相反的映射： [ T^:W^\to V^,\qquad T^(\psi)=\psi\circ T. ] 这就是对偶映射，也称转置映射。它将 (W) 上的泛函拉回为 (V) 上的泛函。若 (T) 的矩阵为 (A)，则其对偶映射在相应对偶基下的矩阵为矩阵转置 (A^{\mathsf T})。复合次序会反转： [ (S\circ T)^=T^\circ S^*. ] 这种代数意义上的转置，不应与复内积空间中伴随算子所用的共轭转置矩阵混淆。(linear.axler.net)
对于线性子空间 (U\subseteq V)，其零化子为 [ U^\circ={\varphi\in V^*:\varphi(u)=0 \text{，对所有 }u\in U}. ] 在有限维情形下， [ \dim U^\circ=\dim V-\dim U. ] 商向量空间 (V/U) 上的泛函与 (U^\circ) 中的元素自然对应，因为恰好是这些泛函在 (U) 的每个陪集上取常值。(linear.axler.net)
双对偶空间
(V^) 的对偶空间称为*双对偶空间，记为 (V^{})。存在一个典范的求值映射： [ J:V\to V^{},\qquad J(v)(\varphi)=\varphi(v). ] 与依赖于基的 (V) 和 (V^*) 之间的对应关系不同，这一构造不需要选择坐标。由于线性泛函能够区分不同的向量，该映射是单射。在有限维情形下，维数相等还使 (J) 成为满射，从而给出典范同构 (V\cong V^{**})。(stat.uchicago.edu)
对于赋范向量空间的连续对偶空间，哈恩–巴拿赫定理保证 (J) 是等距嵌入。当这个典范嵌入是满射时，相应的巴拿赫空间称为自反空间。因此，自反性比仅仅存在某个与双对偶空间之间的同构更强。(ocw.mit.edu)
连续对偶空间与表示
对于实数域或复数域上的赋范空间 (X)，连续对偶空间由有界线性泛函组成。其范数为 [ |\varphi|{X^*} =\sup{|x|\le1}|\varphi(x)|. ] 即使 (X) 不完备，这个对偶空间也总是巴拿赫空间。在有限维赋范空间中，每个线性泛函都是连续的；在无限维情形下，连续对偶空间可能是代数对偶空间的真子空间。(ocw.mit.edu)
对于希尔伯特空间 (H)，里斯表示定理指出，每个连续线性泛函都具有唯一的表示： [ \varphi(x)=\langle x,y\rangle,\qquad |\varphi|=|y|. ] 这里约定内积对第一个变量是线性的。在复数域上，(y\mapsto\varphi) 是共轭线性的；在实数域上，它是线性的。因此，这一对应关系利用了额外的内积结构，并非每个向量空间都内在具有的结构。(ocw.mit.edu)
在有限测度空间上，当 (1\le p<\infty) 时，Lp空间的连续对偶空间可由 (L^q) 表示，其中 (1/p+1/q=1)；这种表示通过与某个函数相乘后积分来实现。当 (1<p<\infty) 时，这些空间是自反的。对偶空间还用于定义 (X) 上的弱拓扑和 (X^*) 上的弱星拓扑：前者通过每个连续线性泛函检验收敛，后者通过在 (X) 的每个向量处求值检验收敛。(math.mit.edu)