泛函分析是数学分析的一个分支，研究赋予了可定义连续性与收敛性的结构的向量空间，以及这些空间之间的映射。其核心研究对象包括函数空间、序列空间和连续线性算子。它结合了线性代数与拓扑学的方法，将有限维的思想推广到可能需要无穷多个坐标的情形。由此建立的框架，使人们能够通过整个空间的性质，而非单个函数的性质，来研究方程与逼近问题。(ocw.mit.edu)
空间与完备性
赋范向量空间具有一个范数 (|x|)，用于度量向量的大小，并由此诱导出距离 (d(x,y)=|x-y|)。巴拿赫空间是完备的赋范空间：每个柯西序列都收敛到该空间中的某个元素。完备性保证了满足柯西条件的逐次逼近序列，在所选的数学空间内存在极限。标量通常取实数或复数。(ocw.mit.edu)
希尔伯特空间在由内积诱导的范数下是完备的，该范数为 [ |x|=\sqrt{\langle x,x\rangle}. ] 内积引入了正交性，并使投影到闭线性子空间等几何构造成为可能。每个希尔伯特空间都是巴拿赫空间，但巴拿赫空间的范数不一定由内积诱导。(ocw.mit.edu)
重要的例子包括序列空间 (\ell^p)、赋予上确界范数的紧空间上的连续函数空间 (C(K))，以及由可测函数构成的Lp空间。当 (1\leq p<\infty) 时， [ |f|_p=\left(\int |f|^p,d\mu\right)^{1/p}. ] (L^p) 的元素是几乎处处相等的函数所构成的等价类；将这些函数视为同一元素，才使上述表达式成为真正的范数。(L^2) 是希尔伯特空间，其内积由积分定义。不同的范数体现不同的逼近概念，因此，选择空间也是建立问题数学表述的一部分。(live.ocw.mit.edu)
算子、泛函与对偶性
线性算子 (T:X\to Y) 是向量空间之间的线性映射。对于赋范空间，连续性等价于有界性：存在常数 (C)，使得对每个 (x\in X)，都有 [ |Tx|_Y\leq C|x|X. ] 其算子范数为 [ |T|=\sup{|x|_X\leq1}|Tx|_Y. ] 如果 (Y) 是巴拿赫空间，那么从 (X) 到 (Y) 的所有有界线性算子，在这一范数下也构成巴拿赫空间。(ocw.mit.edu)
线性泛函将向量映射为标量。连续对偶空间 (X^*) 由 (X) 上的所有有界线性泛函组成。它不同于代数对偶空间，后者也包含不连续的泛函。在希尔伯特空间中，里斯表示定理指出，每个有界线性泛函都可以表示为与某个唯一确定的向量取内积。因此，对偶性将标量测量与空间的几何性质联系起来。(ocw.mit.edu)
基本定理
线性泛函分析的理论体系以若干一般性定理为支柱：
- 哈恩—巴拿赫定理指出，定义在线性子空间上的有界线性泛函，可以延拓到整个赋范空间，且范数不增大。
- 一致有界原理指出，巴拿赫空间上逐点有界的一族有界线性算子，其算子范数一致有界。
- 开映射定理指出，巴拿赫空间之间的有界满射线性算子将开集映射为开集。因此，巴拿赫空间之间的有界双射线性算子具有有界的逆算子。
- 闭图像定理指出，巴拿赫空间之间处处有定义的线性算子，如果其图像在两空间的乘积空间中是闭的，那么该算子就是有界的。(live.ocw.mit.edu)
这些结果将结构性假设——尤其是完备性——转化为关于延拓、连续性和可逆性的结论。(live.ocw.mit.edu)
弱收敛与紧性
无限维空间与有限维空间有着显著差异。无限维空间的闭单位球在范数拓扑下不是紧的。弱拓扑提供了另一种收敛概念：当 [ f(x_n)\longrightarrow f(x) \qquad\text{对每个 }f\in X^*\text{ 都成立时，} ] 称 (x_n) 弱收敛于 (x)。范数收敛蕴含弱收敛，但反之通常不成立。例如，希尔伯特空间中的一个标准正交序列弱收敛于零，而其中每个向量的范数始终为一。(math.mit.edu)
(X^*) 上的弱-拓扑由在 (X) 的各个向量上逐点评值来定义。巴拿赫—阿劳格鲁定理指出，(X^) 的闭单位球在弱-*拓扑下是紧的。这使我们重新获得了范数拓扑下所不具备的一种紧性，不过，仅有紧性并不总能保证序列紧性。(math.mit.edu)
谱理论
紧算子将有界集映射为闭包紧的集合。这类算子往往保留了有限维矩阵的某些特征。有界算子的谱由所有使 (T-\lambda I) 不存在有界且处处有定义的逆算子的标量 (\lambda) 构成。与有限维情形不同，谱值不一定是特征值。(ocw.mit.edu)
对于希尔伯特空间上的紧自伴算符，谱定理保证存在由特征向量组成的标准正交基；非零特征值具有有限重数，且只能在零点聚集。一般的自伴算符则需要借助谱测度，以更广泛的形式来表述谱定理。(ocw.mit.edu)
应用
在偏微分方程中，索博列夫空间对函数及其弱导数施加可积性条件。弱形式使人们即使在经典导数不存在时，也能研究方程。拉克斯—米尔格拉姆定理为涉及希尔伯特空间上有界、强制双线性形式的变分问题，确立了解的存在性与唯一性。(dcn.nat.fau.eu)
在量子力学中，态用复希尔伯特空间来描述，可观测量则由自伴算符表示。许多重要的算符是无界的，因此其定义域是定义中不可或缺的一部分。谱理论为分析这些可观测量和薛定谔算符提供了数学框架。(asc.physik.lmu.de)