一致收敛是数学分析中函数序列的一种收敛方式。如果函数序列的值趋近于某个极限函数，且误差能够在整个定义域上同时变得任意小，就称该序列一致收敛。与逐点收敛不同，一致收敛要求存在一个对所有点都适用的序号阈值。这一更强的条件是有关极限函数的连续性、积分和微分的重要定理的基础。(jirka.org)
定义与量词
设 (E) 为非空集合，(f_n:E\to\mathbb R) 为取值于实数的函数。如果
[ \forall\varepsilon>0;\exists N\in\mathbb N; \forall n\ge N;\forall x\in E,\qquad |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon, ]
则称序列 ((f_n)) 一致收敛于 (f:E\to\mathbb R)。
关键要求是：(N) 可以依赖于 (\varepsilon)，但不能依赖于 (x)。相比之下，逐点收敛允许每个点各有一个阈值。因此，一致收敛蕴含逐点收敛，但反之未必成立。这一定义也适用于取值于复数的函数，此时使用复数的模来衡量误差。(jirka.org)
更一般地，对于取值于度量空间 ((Y,d)) 的函数，误差用 (d(f_n(x),f(x))) 来衡量。因此，这一概念涉及的是对距离的一致控制，而不依赖于函数值所具有的任何特定代数结构。(jirka.org)
上确界表述与例子
通过上确界定义最大可能误差：
[ e_n=\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|. ]
一致收敛等价于 (e_n\to0)。上确界不一定能取到，而且在序列的初始阶段可以为无穷大。对于有界函数，这种表述就是在上确界范数下收敛；上确界范数也称一致范数或无穷范数：
[ |g|\infty=\sup{x\in E}|g(x)|,\qquad |f_n-f|_\infty\longrightarrow0. ]
这样，每个序号所对应的一族依赖于点的误差，就被一个数值误差所替代。(jirka.org)
例如，多项式 (f_n(x)=x^n) 在 ([0,1]) 上逐点收敛于
[ f(x)= \begin{cases} 0,&0\le x<1,\ 1,&x=1. \end{cases} ]
然而，对每个 (n)，都有 (\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|=1)，因此收敛并不一致。在每个较小的区间 ([0,r]) 上，其中 (0<r<1)，误差为 (r^n)，并趋于零。因此，是否一致收敛取决于所选的定义域。(jirka.org)
一致收敛并不要求函数本身有界：(f_n(x)=x+1/n) 在 (\mathbb R) 上一致收敛于 (x)，因为误差恰好为 (1/n)。这可以直接由上确界判据得出。(jirka.org)
柯西判据与函数空间
对于实值或复值函数，一致收敛等价于一致柯西序列条件：
[ \forall\varepsilon>0;\exists N; \forall m,n\ge N;\forall x\in E,\qquad |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon. ]
这一判据无须事先确定极限函数，就能判定收敛性。对于取值于度量空间的函数，当目标空间是完备度量空间时，这一条件也是充分的：完备性保证逐点极限的存在，而一致柯西条件给出的界限则同时控制所有点上的误差。(jirka.org)
在泛函分析中，拓扑空间上的有界连续标量值函数配备上确界范数后，构成一个巴拿赫空间。其完备性可通过如下方式证明：构造一致柯西序列的逐点极限，再证明所得的一致极限仍然连续。(jirka.org)
连续性与可积性的保持
连续函数序列的一致极限是连续的。标准证明将差值 (f(x)-f(x_0)) 分解为两个逼近误差，以及一个固定连续函数在两点的值之差，然后应用三角不等式。这里不要求定义域具有紧致性。(math.ucdavis.edu)
一致收敛还允许在有界区间上交换极限与积分。如果每个 (f_n) 在 ([a,b]) 上都可作黎曼积分，且 (f_n\to f) 一致收敛，那么 (f) 也黎曼可积，并且
[ \int_a^b f(x),dx =\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x),dx. ]
相应的定量估计为
[ \left|\int_a^b f_n-\int_a^b f\right| \le(b-a)|f_n-f|_\infty. ]
区间长度有限这一点至关重要；仅凭一致收敛，不能对任意反常积分得出类似结论。(jirilebl.github.io)
微分需要额外条件
仅有一致收敛，既不能保证极限函数仍可微，也不能保证导数收敛。例如，
[ f_n(x)=\sqrt{x^2+n^{-2}} ]
中的各个函数都可微，并且一致收敛于 (|x|)，因为误差至多为 (1/n)。但极限函数在零点不可微。(jirilebl.github.io)
一个给出充分条件的定理转而要求导数一致收敛。如果 (f_n) 在一个有界闭区间上连续可微，(f_n'\to g) 一致收敛，且 (f_n(x_0)) 在某一点收敛，那么 (f_n) 一致收敛于某个可微函数 (f)，并且 (f'=g)。微积分基本定理将这些结论联系起来。(users.math.msu.edu)
级数与紧致收敛
当级数 (\sum u_n(x)) 的部分和序列一致收敛时，就称该级数一致收敛。魏尔斯特拉斯 M 判别法给出了一个实用的充分条件：如果处处都有 (|u_n(x)|\le M_n)，且 (\sum M_n<\infty)，那么该函数项级数一致收敛且绝对收敛。(math.ucdavis.edu)
幂级数在完全位于其收敛区间内部的每个闭区间上一致收敛，但在整个开区间上未必一致收敛。这是局部一致收敛的一个例子；在实数或复数空间中的开集上，局部一致收敛等价于在每个紧子集上一致收敛。它无须一个全局适用的误差界限，就能保持局部的连续性性质。(jirilebl.github.io)