在拓扑学中，稠密集是拓扑空间的一个子集，它与该空间的每个非空开子集都有交点。直观地说，无论空间中的哪个点，都能在任意接近它的地方找到这个子集中的点，但该子集不必包含空间中的所有点。稠密性将逼近的可能性形式化，是数学分析中的基本概念。一个典型例子是有理数集在实数集中的稠密性。(buttenschoen.ca)
定义与等价表述
设 (X) 是拓扑空间，(A\subseteq X)。当 (A) 的闭包等于 (X) 时，称 (A) 在 (X) 中稠密： [ \overline{A}^{,X}=X. ] 等价地，每个非空开集 (U\subseteq X) 都满足 (U\cap A\ne\varnothing)。用邻域来表述，就是 (X) 中每个点的每个邻域都与 (A) 相交。这些表述表达的是同一件事：不存在与 (A) 完全不相交的非空开区域。(buttenschoen.ca)
在度量空间 ((X,d)) 中，稠密性可以用逼近来表述： [ \forall x\in X;\forall\varepsilon>0; \exists a\in A:\quad d(x,a)<\varepsilon. ] 因此，每个半径为正的开球都与 (A) 相交。等价地，每个 (x\in X) 都是由 (A) 中的点组成的某个序列的极限：只需选取满足 (d(x,a_n)<1/n) 的 (a_n)。这一序列刻画直接来自度量空间中的定义；在一般拓扑空间中，仅靠序列未必能刻画闭包。(buttenschoen.ca)
稠密性总是相对于某个所在空间及其拓扑而言的。若 (A\subseteq Y\subseteq X)，则由子空间拓扑可得 [ \overline{A}^{,Y}=Y\cap\overline{A}^{,X}. ] 因此，(A) 在 (Y) 中稠密，当且仅当 (Y\subseteq\overline{A}^{,X})，即使 (A) 在 (X) 中并不稠密也可以如此。这是闭包定义的直接推论。(ocw.mit.edu)
实数轴上的例子
在通常拓扑下，有理数集 (\mathbb Q) 在实数集 (\mathbb R) 中稠密。对于任意 (x\in\mathbb R) 和 (\varepsilon>0)，选取满足 (1/n<\varepsilon) 的正整数 (n)。则 [ q=\frac{\lfloor nx\rfloor}{n} ] 是有理数，且满足 (0\le x-q<1/n<\varepsilon)。因此，用有理数逼近实数，可以将误差控制在任意给定的正数以内。(buttenschoen.ca)
无理数集也稠密。由有理数集的稠密性可以直接推出，(\mathbb Q+\sqrt2) 稠密，且其中的元素全是无理数。然而，整数集在 (\mathbb R) 中并不稠密，因为像 ((0,1)) 这样的区间不包含任何整数。这两个结论都可由开集判据得出。(buttenschoen.ca)
稠密并不意味着集合在元素数量或体积方面很大。有理数集是可数集，其勒贝格测度为零，却仍然稠密。它的补集也稠密。因此，拓扑意义上的稠密性与测度描述的是不同的性质：与每个开区间相交，并不要求集合占据正的长度。(people.math.harvard.edu)
结构性质
由定义可以直接得到以下几个有用的结论：
- 任何包含稠密子集的子集本身也稠密。
- 一个闭集在 (X) 中稠密，当且仅当它等于 (X)。
- 若 (A) 在 (Y) 中稠密，且 (Y) 在 (X) 中稠密，则 (A) 在 (X) 中稠密。
- 一族集合的并，只要其中至少有一个集合稠密，就也稠密。
- 稠密集的交不一定稠密：(\mathbb Q) 和 (\mathbb R\setminus\mathbb Q) 都稠密，却互不相交。
这些命题可以通过开集判据或闭包的基本性质来验证。(buttenschoen.ca)
不过，有限个开稠密集的交仍是开稠密集。要证明 (U\cap V) 稠密，任取非空开集 (W)。由于 (U) 稠密，(W\cap U) 非空；由于 (U) 是开集，这个交集也是开集。再由 (V) 的稠密性可得 (W\cap U\cap V\ne\varnothing)。通过归纳，这一论证可推广到任意有限个开稠密集。(buttenschoen.ca)
可分性与逼近
如果一个空间具有可数稠密子集，就称它为可分空间。因此，(\mathbb R) 是可分空间，有限维欧几里得空间 (\mathbb R^n) 也是可分空间，其中 (\mathbb Q^n) 是稠密子集。每个紧空间若同时是度量空间，也都是可分的。可分性关注的是，是否存在一个可数的点集足以逼近整个空间，而不是空间本身有多少个点。(people.math.harvard.edu)
在泛函分析中，稠密性常常涉及以函数为点的空间。魏尔斯特拉斯逼近定理指出，在赋予上确界范数的实值连续函数空间 (C([a,b])) 中，多项式构成稠密子集。具体来说，对于任意 (f\in C([a,b])) 和 (\varepsilon>0)，都存在多项式 (p)，使得 [ \sup_{x\in[a,b]}|f(x)-p(x)|<\varepsilon. ] 这是在整个区间上的逼近，用一致收敛来表述，而非仅在某一个点上的逼近。(ocw.mit.edu)
无处稠密性与贝尔定理
无处稠密集 (A) 满足 [ \operatorname{int}(\overline A)=\varnothing. ] 这一条件比仅仅不稠密更强：它的闭包不包含任何非空开区域。第一纲集是可数个无处稠密集的并。这一区别意味着，一个集合可以既稠密又是第一纲集，实数轴上的有理数集就是如此。(buttenschoen.ca)
贝尔纲定理表明，在完备度量空间中，可数个开稠密集的交仍然稠密。等价地，任何非空开子集都不能被可数个无处稠密集覆盖。这里的开集条件和完备性条件，使这一结论不同于一般稠密集的交；后者可能为空。(ocw.mit.edu)