度量空间是一个集合，其元素之间的距离已有明确规定。这个距离函数称为度量，它遵循从通常的几何距离中抽象出来的规则。集合的元素可以是数、向量、函数或其他对象，而不必是物理位置。度量空间为数学分析中收敛性和连续性的研究提供了统一框架，同时将这些概念与几何学和拓扑学联系起来。(ocw.mit.edu)
定义
形式上，度量空间是一个二元组 ((X,d))，其中 (X) 是集合，而 [ d:X\times X\longrightarrow[0,\infty) ] 是一个函数，对任意 (x,y,z\in X) 都满足以下公理：
- 正定性： (d(x,y)=0) 当且仅当 (x=y)。
- 对称性： (d(x,y)=d(y,x))。
- 三角不等式： (d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z))。
非负性已包含在 (d) 的取值范围规定之中。按照这一定义，距离都是有限的实数。(X) 中的点不必具有坐标，定义也不要求存在加法或数乘运算。对任意子集 (A\subseteq X)，将 (d) 限制在 (A\times A) 上，就使 (A) 成为一个度量空间；这一度量称为其子空间度量。(math.cmu.edu)
例子
在实数轴上，标准度量为 (d(x,y)=|x-y|)。在 (\mathbb R^n) 上，欧几里得距离为 [ d_2(x,y)=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|^2\right)^{1/2}. ] 同一集合上的其他度量包括 [ d_1(x,y)=\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|, \qquad d_\infty(x,y)=\max_{1\leq i\leq n}|x_i-y_i|. ] 这些度量给出的距离数值各不相同，但在有限维欧几里得空间上诱导出相同的开集。(ocw.mit.edu)
任何集合都可以赋予**离散度量**：相同点之间的距离为 (0)，不同点之间的距离为 (1)。赋范向量空间上的度量为 (d(x,y)=|x-y|)。另一个例子是闭有界区间上的连续函数空间 (C([a,b],\mathbb R))，其度量可以定义为 [ d(f,g)=\sup_{t\in[a,b]}|f(t)-g(t)|. ] 在这一度量下的收敛恰好就是一致收敛。因此，度量空间中的一个点本身可以是一整个函数。(jirka.org)
球与诱导拓扑
对 (r>0)，以 (x) 为中心的**开球**定义为 [ B(x,r)={y\in X:d(x,y)<r}. ] 若对每个 (x\in U)，都存在一个包含于 (U) 的球 (B(x,r))，则子集 (U\subseteq X) 称为开集。一个集合的补集为开集时，该集合称为闭集。这些开集使 (X) 成为一个拓扑空间：开集的任意并和有限交仍是开集。开球构成这一拓扑的一组基。(math.cmu.edu)
不同的度量可能生成相同的拓扑。例如，(d) 与 (\min{1,d}) 在半径足够小时具有相同的球，因此具有相同的开集。拓扑刻画局部的邻近关系，却不保留距离的所有定量特征；尤其是，拓扑未必能决定完备性。(jirka.org)
收敛性与连续性
序列 ((x_n)) 收敛于 (x\in X)，是指 [ d(x_n,x)\longrightarrow0. ] 等价地，对每个 (\varepsilon>0)，序列中足够靠后的所有项都属于 (B(x,\varepsilon))。极限若存在，就必定唯一：三角不等式保证一个序列不可能同时趋近两个距离为正的点。一个子集为闭集，当且仅当它包含所有取自该子集的收敛序列的极限。(ocw.mit.edu)
映射 (f:(X,d_X)\to(Y,d_Y)) 在 (x) 处是连续函数，是指对每个 (\varepsilon>0)，都存在某个 (\delta>0)，使得 [ d_X(x,y)<\delta \quad\Longrightarrow\quad d_Y(f(x),f(y))<\varepsilon. ] 在度量空间中，连续性等价于保持序列的收敛性，也等价于开集的原像都是开集。这些表述将基于距离的分析与拓扑定义联系起来。(ocw.mit.edu)
完备性与完备化
柯西序列的各项在足够靠后时，彼此之间的距离可以任意小：
[
\forall\varepsilon>0\ \exists N
\forall m,n\geq N,\quad d(x_m,x_n)<\varepsilon.
]
如果一个度量空间中的每个柯西序列都收敛于该空间中的某个点，则称其为**完备度量空间**。实数在标准度量下是完备的；有理数则不是，因为由有理数组成的柯西序列可能趋近于无理数。(ocw.mit.edu)
每个度量空间都有一个**完备化**：它是一个完备空间，包含原空间的等距副本，且该副本是其中的稠密子集。在保持这一副本对应关系的等距映射意义下，完备化是唯一的。完备的赋范向量空间称为巴拿赫空间；希尔伯特空间在其内积诱导的度量下是完备的。(ocw.mit.edu)
紧致性
如果一个度量空间的每个开覆盖都有有限子覆盖，则它是一个紧空间。在度量空间中，这等价于每个序列都有一个在该空间内收敛的子序列，也等价于同时满足完备性和**全有界性**。全有界性是指，对每个 (\varepsilon>0)，都可以用有限个半径为 (\varepsilon) 的球覆盖整个空间。(ocw.mit.edu)
度量空间的紧子集都是闭且有界的，但反过来一般不成立。赋予离散度量的无限集合是完备且有界的，却不是紧的：它的所有单点开集构成一个开覆盖，而这个覆盖没有有限子覆盖。相比之下，在配备标准度量的 (\mathbb R^n) 中，海涅–博雷尔定理指出，一个子集是紧的，当且仅当它是闭且有界的。(jirka.org)