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数学 / pointwise-convergence

逐点收敛

逐点收敛是指函数序列在共同定义域的每个固定点处收敛，而不要求在整个定义域上一致控制误差。

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函数极限数学分析一致收敛函数的定义域陪域度量空间实数逐点收敛

逐点收敛是函数序列的一种收敛方式：在共同定义域的每个固定点处，函数值分别趋于一个极限。在数学分析中，它是通过逐次逼近来定义极限函数的一种基本方式。其核心特点是：使近似达到指定精度所需的起始下标，可以依赖于所考察的点。这与一致收敛不同，后者要求同一个下标适用于整个定义域。(jirka.org)

定义

设 fn:X→Yf_n:X\to Y 是具有共同定义域 XX 和陪域 YY 的函数，其中 YY 是距离为 dd 的度量空间。若

lim⁡n→∞fn(x)=f(x)对每个 x∈X 都成立,\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x) \qquad\text{对每个 }x\in X\text{ 都成立},

则称该序列逐点收敛于 f:X→Yf:X\to Y。因此，固定 xx 后，便得到 YY 中一个通常意义下的收敛序列。这一定义尤其适用于取值为实数或复数的函数。(jirka.org)

等价地，

∀x∈X  ∀ε>0  ∃N=N(x,ε)  ∀n≥N:d(fn(x),f(x))<ε.\forall x\in X\;\forall\varepsilon>0\; \exists N=N(x,\varepsilon)\; \forall n\ge N: \quad d(f_n(x),f(x))<\varepsilon.

这里关键在于 NN 可以依赖于 xx。收敛在某一点处可能很快，而在另一点附近可能任意缓慢。对于实值函数，d(fn(x),f(x))d(f_n(x),f(x)) 就是 ∣fn(x)−f(x)∣|f_n(x)-f(x)|。(jirka.org)

在度量空间中，逐点极限若存在，就必定唯一。在子集 A⊆XA\subseteq X 上收敛，是指上述条件在 AA 的每个点处都成立，而对 AA 以外的点不作任何断言。(jirka.org)

例子及与一致收敛的比较

考虑多项式函数

fn(x)=x2n,x∈[−1,1].f_n(x)=x^{2n},\qquad x\in[-1,1].

当 ∣x∣<1|x|<1 时，函数值趋于零；在 x=−1x=-1 和 x=1x=1 处，函数值始终等于一。因此，

f(x)={0,∣x∣<1,1,x=−1 或 x=1.f(x)= \begin{cases} 0,&|x|<1,\\ 1,&x=-1\text{ 或 }x=1. \end{cases}

每个 fnf_n 都是连续函数，但极限函数在两个端点处不连续。因此，逐点收敛不能保持连续性。(jirka.org)

一致收敛改变了量词的顺序：

∀ε>0  ∃N  ∀x∈X  ∀n≥N:d(fn(x),f(x))<ε.\forall\varepsilon>0\;\exists N\; \forall x\in X\;\forall n\ge N: \quad d(f_n(x),f(x))<\varepsilon.

一致收敛蕴含逐点收敛，但反之不成立。对于上述幂函数，在任一端点附近，都有函数值任意接近一的点，尽管这些点处的极限值为零。因此，对每个 nn，都有

sup⁡x∈[−1,1]∣fn(x)−f(x)∣=1.\sup_{x\in[-1,1]}|f_n(x)-f(x)|=1.

然而，在任意较小的区间 [−a,a][-a,a] 上，其中 0<a<10<a<1，误差至多为 a2na^{2n}，因而一致趋于零。这些估计说明，所选定义域会影响收敛性质。(jirka.org)

极限、积分与求导

仅凭逐点收敛，不能保证可以交换极限运算与其他运算的次序。对于连续函数，一致收敛提供了足以保持连续性的控制；逐点收敛则没有类似的一般保证。积分和求导也存在类似的区别。(jirka.org)

例如，在 [0,1][0,1] 上，令

gn(x)={n,0<x<1/n,0,其他情形.g_n(x)= \begin{cases} n,&0<x<1/n,\\ 0,&\text{其他情形}. \end{cases}

直接计算可知，在每个固定点处都有 gn(x)→0g_n(x)\to0：每个正数 xx 最终都会落在不断缩小的区间之外，而 gn(0)=0g_n(0)=0。然而，

∫01gn(x) dx=1,∫01lim⁡n→∞gn(x) dx=0.\int_0^1g_n(x)\,dx=1, \qquad \int_0^1\lim_{n\to\infty}g_n(x)\,dx=0.

不断增加的高度抵消了不断减小的宽度，说明一般不能交换积分与逐点极限的次序。(jirka.org)

即使可导函数序列一致收敛，也未必能交换求导与极限的次序。函数

hn(x)=sin⁡(nx)nh_n(x)=\frac{\sin(nx)}{n}

在 R\mathbb R 上一致收敛于零，因为 ∣hn(x)∣≤1/n|h_n(x)|\le1/n。但对每个 nn，都有 hn′(0)=1h_n'(0)=1，而极限函数，即零函数，其导数为零。相应的求导定理需要额外假设，通常要求导数序列一致收敛，并且原函数序列在某一点处收敛。(ocw.mit.edu)

测度论中的变体

在测度论中，几乎处处收敛是指在某个零测集之外逐点收敛。对于实值可测函数，若逐点极限处处存在，则极限函数也是可测的。因此，与连续性不同，可测性在取函数序列的逐点极限时得以保持。(math.mit.edu)

控制收敛定理给出了在几乎处处收敛的情况下，可以在勒贝格积分中取极限的条件。若 fn→ff_n\to f 几乎处处成立，且存在一个固定的可积函数 gg，使得 ∣fn∣≤g|f_n|\le g 几乎处处成立，则

∫∣fn−f∣ dμ⟶0,∫fn dμ⟶∫f dμ.\int |f_n-f|\,d\mu\longrightarrow0, \qquad \int f_n\,d\mu\longrightarrow\int f\,d\mu.

控制函数提供了单凭逐点收敛所缺乏的控制。(ocw.mit.edu)

拓扑解释

若 YY 是拓扑空间，则可以利用 YY 中的收敛来定义逐点收敛，而无须选定度量。将所有函数 X→YX\to Y 构成的集合 YXY^X 与笛卡尔积 ∏x∈XY\prod_{x\in X}Y 等同起来，则逐点收敛恰好就是积拓扑中的收敛。(math.mit.edu)

ff 的一个基本邻域只对有限多个点处的函数值施加限制：

{g∈YX:g(xi)∈Ui, i=1,…,k},\{g\in Y^X:g(x_i)\in U_i,\ i=1,\ldots,k\},

其中，每个 UiU_i 都是 f(xi)f(x_i) 的开邻域。这种拓扑也称为点开拓扑。上述等价关系可以从序列推广到网，从而使逐点收敛能够在一般拓扑学的框架内加以研究。(math.mit.edu)