控制收敛定理

控制收敛定理是测度论中关于交换极限与积分的一项基本结果。它指出，如果一个可测函数列几乎处处收敛，且各项的绝对值都不超过同一个可积函数，那么极限函数可积，函数列的积分也收敛于极限函数的积分。这一定理属于勒贝格积分理论，适用于可变号的函数以及复值函数。(math.mit.edu)

定理陈述

设 $(X,\Sigma,\mu)$ 是一个测度空间， $f_n:X\to\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ 是可测函数。假设：

$f_n(x)\to f(x)$ 几乎处处成立，其中 $f$ 可测。
存在一个非负可测函数 $g$ ，使得
$\int_X g\,d\mu<\infty, \qquad |f_n(x)|\le g(x)$
对每个 $n$ 都几乎处处成立。

那么每个 $f_n$ 以及极限函数 $f$ 都可积，并且

\lim_{n\to\infty}\int_X f_n\,d\mu = \int_X f\,d\mu.

函数 $g$ 称为可积控制函数或可积上界函数。必须由同一个 $g$ 控制整个函数列；仅有依赖于 $n$ 的各自上界并不足够。(math.mit.edu)

“几乎处处”这一限定允许存在测度为零的例外集合。由于函数列只有可数项，各项上界不等式的例外集合可以合并为一个零测集。对于复值函数，绝对值指的是复数的模；分别对实部和虚部应用实值函数版本的定理，也能得到上述积分等式。(ocw.mit.edu)

逐点收敛控制的是每个固定点处的函数值，但其本身并不能控制整个积分。函数列可能出现越来越窄、越来越高的尖峰，也可能在无界定义域上将对积分的贡献移向越来越远的地方。控制条件则借助一个积分有限的函数，提供全局控制。(maths.tcd.ie)

这一定理实际上给出了更强的结论：

\int_X |f_n-f|\,d\mu\longrightarrow0.

这意味着在 $L^1$ 空间中收敛，而不仅仅是带符号积分或复数积分的收敛。事实上， $|f|\le g$ 几乎处处成立，因此

|f_n-f|\le2g.

对几乎处处趋于零的 $|f_n-f|$ 应用控制收敛定理，即可证明这一结论。再由三角不等式得到

\left|\int_X f_n\,d\mu-\int_X f\,d\mu\right| \le\int_X|f_n-f|\,d\mu.

这些都是该定理的直接推论。(abel.math.harvard.edu)

对于实值函数，一种标准的数学证明是两次应用法图引理。由于 $|f|\le g$ ，所有相关积分都是有限的。函数 $g+f_n$ 和 $g-f_n$ 非负，因此由法图引理可得

\int_X(g+f)\,d\mu \le \liminf_n\int_X(g+f_n)\,d\mu

以及

\int_X(g-f)\,d\mu \le \liminf_n\int_X(g-f_n)\,d\mu.

消去 $g$ 的有限积分后，得到

\int_X f\,d\mu \le\liminf_n\int_X f_n\,d\mu, \qquad \limsup_n\int_X f_n\,d\mu \le\int_X f\,d\mu.

因此，下极限和上极限都等于 $\int_X f\,d\mu$ 。可见，控制函数将法图引理中的单向不等式转化成了极限等式。(ocw.mit.edu)

在赋予勒贝格测度的区间 $[0,1]$ 上，考虑

f_n(x)=x^n.

除 $x=1$ 外，这些函数都趋于零，并且 $0\le f_n\le1$ 。由于常数函数 $1$ 在此区间上可积，定理给出

\int_0^1x^n\,dx\longrightarrow0,

这与积分值 $1/(n+1)$ 一致。这个例子说明了如何在有限区间上使用常数上界函数。(www-users.cse.umn.edu)

作为对照，在 $(0,1)$ 上令

f_n(x)=n\,\mathbf1_{(0,1/n)}(x),

其中 $\mathbf1_A$ 表示集合 $A$ 的示性函数。对于每个固定的 $x>0$ ，当 $n$ 足够大时都有 $f_n(x)=0$ ，但

\int_0^1f_n(x)\,dx=1.

极限函数的积分为零。因此，逐点收敛，甚至加上 $|f_n|$ 的积分具有统一上界，也不能替代一个可积的逐点上界函数。这种窄尖峰反例展示了控制条件所排除的失效情形。(maths.tcd.ie)

在测度无限的定义域上，上界函数的可积性同样重要。例如，一维热核在时间趋于无穷时逐点趋于零，但其积分始终为一。它的质量扩散到越来越大的区域，因此这一函数族不存在共同的可积上界函数。(www-users.cse.umn.edu)

在概率空间上，积分就是期望值。如果随机变量 $X_n$ 几乎必然收敛于 $X$ ，并且

|X_n|\le Y,\qquad \mathbb E[Y]<\infty,

那么

\mathbb E[X_n]\to\mathbb E[X], \qquad \mathbb E[|X_n-X|]\to0.

这里不需要独立性假设。这就是以概率测度作为 $\mu$ 来应用测度论中的控制收敛定理。(math.mit.edu)

假设 $h(t,x)$ 关于 $x$ 可测，对几乎每个 $x$ 都关于实参数 $t$ 连续，且当 $t$ 位于 $t_0$ 附近时，其绝对值不超过同一个可积函数。对任意序列 $t_n\to t_0$ 应用该定理，就能证明

H(t)=\int_Xh(t,x)\,d\mu(x)

在 $t_0$ 处连续。(maths.tcd.ie)

该定理也可用于论证积分号下求导的合法性。一组充分条件是： $h$ 为实值函数，其截面函数可测， $h(t_0,\cdot)$ 可积，而且在某个固定零测集之外， $h(\cdot,x)$ 在 $t_0$ 的一个邻域内可微，并满足

|\partial_t h(t,x)|\le g(x),\qquad g\in L^1(\mu).

由中值定理，差商的绝对值不超过 $g$ 。于是控制收敛定理给出

H'(t_0)=\int_X\partial_t h(t_0,x)\,d\mu(x).

因此，关键在于控制差商，而不只是控制原来的被积函数。(maths.tcd.ie)