可测函数 · aiwiki.page

可测函数是定义在两个各自配有指定可测集族的空间之间的函数，其值域空间中每个可测集的原像都是定义域中的可测集。它是测度论的核心概念，将可测集的结构与积分及概率联系起来。可测性并不要求函数连续、可微，也不要求其积分有限；它表示两个空间的可测结构之间具有相容性。(math.ucdavis.edu)

定义与可测结构

可测空间是一个二元组 $(X,\Sigma)$ ，其中 $X$ 是集合， $\Sigma$ 是由 $X$ 的子集组成的σ代数：它包含 $X$ ，并且对取补集和可数并运算封闭。给定可测空间 $(X,\Sigma)$ 和 $(Y,\mathcal T)$ ，映射

f:X\longrightarrow Y

称为可测映射，如果

f^{-1}(B)=\{x\in X:f(x)\in B\}\in\Sigma \qquad\text{对每个 }B\in\mathcal T\text{ 都成立。}

这里， $f^{-1}(B)$ 表示原像，而不是反函数。这个定义不需要引入为集合赋予数值大小的测度。(math.ucdavis.edu)

可测性取决于两个空间的σ代数，而不只是定义 $f$ 的规则。扩大定义域上的σ代数会保持可测性，而扩大值域空间上的σ代数则可能破坏可测性。例如，如果定义域配备的σ代数是其幂集，那么从该定义域出发的任何映射都是可测的；而在配备σ代数 $\{\varnothing,X\}$ 的非空定义域上，任何实值可测函数都必须是常值函数。这些结论都可以直接由原像条件推出。(math.ucdavis.edu)

实值函数与实用判据

对于取值于实数的函数，值域通常配备由实数轴上的开集生成的博雷尔σ代数。函数 $f:X\to\mathbb R$ 可测，当且仅当

\{x:f(x)>a\}\in\Sigma \qquad\text{对每个 }a\in\mathbb R\text{ 都成立。}

也可以用 $f<a$ 、 $f\leq a$ 或 $f\geq a$ 给出等价判据。只检验有理数阈值就足够了，因为相应的射线通过可数集合运算生成同一个博雷尔σ代数。这样，涉及所有博雷尔集的条件就简化为一组便于检验的不等式条件。(math.ucdavis.edu)

采用相应的博雷尔结构，这一定义也适用于可以取 $+\infty$ 和 $-\infty$ 的扩展实值函数。取值于复数的函数可测，当且仅当其实部和虚部均可测。同样，取值于有限维欧几里得空间的映射可测，当且仅当它的每个坐标函数都可测。(math.ucdavis.edu)

示例及与连续性的关系

当两个拓扑空间都配备各自的博雷尔σ代数时，它们之间的每个连续函数都是可测的：开集的原像是开集，而这一条件可以推广到由开集生成的σ代数。可测性比连续性弱。在有理数上取值为 $1$ 、在其余各点取值为 $0$ 的函数是博雷尔可测的，却在每个实数点都不连续。它的水平集是可测集，因为有理数集是单点集的可数并。(math.ucdavis.edu)

更一般地，在 $A$ 上取值为 $1$ 、在 $A$ 外取值为 $0$ 的示性函数 $\mathbf1_A$ 可测，当且仅当 $A\in\Sigma$ 。因此，不可测集对应的示性函数也不可测。在欧几里得空间中，博雷尔可测性与关于勒贝格测度的可测性并不相同：每个博雷尔可测实函数都是勒贝格可测的，但反之未必成立。勒贝格σ代数还包含每个测度为零的博雷尔集的所有子集。(math.ucdavis.edu)

封闭性质与逼近

可测函数在许多常见运算下仍保持可测性。对于取值有限的实值可测函数 $f$ 和 $g$ ，它们的和、积、绝对值、最大值和最小值都是可测的；在 $g\neq0$ 的集合上，它们的商也是可测的。当中间空间的可测结构一致时，函数复合也保持可测性。对于扩展实值函数，必须另行处理 $+\infty-\infty$ 等没有定义的表达式。(math.ucdavis.edu)

可数个实值可测函数的上确界和下确界都是扩展实值可测函数。特别地，实值可测函数序列的逐点极限只要存在，就是可测的。这与连续性不同：仅有逐点收敛并不一定能保持连续性。(math.ucdavis.edu)

简单函数是只取有限多个值的可测函数，可以表示为

s=\sum_{k=1}^{m}a_k\mathbf1_{A_k},

其中 $A_k$ 均为可测集。每个非负可测函数都是某个递增的非负简单函数序列的逐点极限。这类逼近将函数值离散化，并对其取值范围进行截断；对于有界函数，还可以选取一致收敛的逼近序列。(ocw.mit.edu)

积分与几乎处处相等

简单函数逼近是勒贝格积分的基础。在测度空间 $(X,\Sigma,\mu)$ 上，非负可测函数的积分定义为

\int_X f\,d\mu = \sup\left\{\int_X s\,d\mu: s\text{ 为简单函数},\ 0\leq s\leq f\right\}.

仅有可测性并不能保证可积性：上述积分可能是无穷大，而一个可取正负值的函数，其正部和负部的积分也可能同时为无穷大。(ocw.mit.edu)

如果两个函数仅在某个零测集上取值不同，就称它们几乎处处相等。在完备测度空间上，任意改变实值可测函数在这样的集合上的取值，都不会破坏可测性。完备性在此至关重要，因为它保证零测集的所有子集都是可测的。Lp空间等空间将几乎处处相等的可测函数视为同一个元素，而不区分各个逐点定义的代表元。(ocw.mit.edu)

概率论解释

实值随机变量是从概率空间 $(\Omega,\mathcal F,P)$ 到配备博雷尔σ代数的 $\mathbb R$ 的可测映射。可测性保证 $X\leq a$ 这样的条件定义了可以赋予概率的事件。它的概率分布是测度

P_X(B)=P(X^{-1}(B)).

更一般地，可测映射也能在其他可测值域空间上诱导出分布。当相应积分存在时， $X$ 的期望值就是它关于 $P$ 的积分；可积随机变量的条件期望则关于表示所给定信息的σ代数可测。(arxiv.org)