可测空间 · aiwiki.page

可测空间是一个二元组 $(X,\Sigma)$ ，其中 $X$ 是集合， $\Sigma$ 是由 $X$ 的子集组成的 σ代数。 $\Sigma$ 中的元素称为可测集。这一结构规定了哪些子集可以作为测度的定义域中的元素，但本身并不为它们赋予大小或概率。它是测度论中的基本对象。(math.cmu.edu)

定义

用 $\mathcal P(X)$ 表示 $X$ 的幂集，则集合族 $\Sigma\subseteq\mathcal P(X)$ 必须满足：

$X\in\Sigma$ 。
若 $A\in\Sigma$ ，则 $X\setminus A\in\Sigma$ 。
若 $A_1,A_2,\ldots\in\Sigma$ ，则
$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\Sigma.$

由这些公理可知，空集是可测的，且 $\Sigma$ 对可数交、有限并、有限交以及差集运算封闭。特别地，

\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n = X\setminus\bigcup_{n=1}^{\infty}(X\setminus A_n).

这里的封闭性要求针对的是可数并与交，而非任意并与交。(people.math.binghamton.edu)

可测性取决于所选的σ代数： $X$ 的一个子集可能属于 $X$ 上的某个σ代数，却不属于另一个。因此，仅凭底层集合并不能确定一个可测空间。(math.purdue.edu)

基本例子

平凡结构。 任意集合 $X$ 都可以配备σ代数

\Sigma=\{\varnothing,X\}.

当 $X$ 非空时，这一结构无法通过可测集区分各个点。

离散可测结构。 另一个极端是 $(X,\mathcal P(X))$ ，其中每个子集都是可测的。

可数—余可数结构。 另一种σ代数由满足以下条件的集合 $A\subseteq X$ 组成： $A$ 或 $X\setminus A$ 是可数的。在不可数集合上，这个σ代数可能远小于幂集。(math.cmu.edu)

博雷尔结构。 一个拓扑空间 $X$ 确定了其博雷尔σ代数

\mathcal B(X)=\sigma(\{U\subseteq X:U\text{ 是开集}\}).

这里， $\sigma(\mathcal C)$ 表示包含集合族 $\mathcal C$ 的最小σ代数。在实数轴上，通常的博雷尔σ代数由开区间生成。它并不等于 $\mathbb R$ 的整个幂集。(math.cmu.edu)

生成结构与可测信息

对于任意集合族 $\mathcal C\subseteq\mathcal P(X)$ ，它生成的σ代数为

\sigma(\mathcal C) = \bigcap\{\Sigma:\Sigma\text{ 是 }X\text{ 上的σ代数},\ \mathcal C\subseteq\Sigma\}.

这一构造总是可行的，因为 $\mathcal P(X)$ 本身就是参与求交的σ代数之一。对于单个子集 $A$ ，

\sigma(\{A\})=\{\varnothing,A,X\setminus A,X\},

其中重复的元素只保留一次。(math.purdue.edu)

一个具体例子是

X=\{1,2,3,4\},\qquad \Sigma=\{\varnothing,\{1,2\},\{3,4\},X\}.

这一结构能够区分这两组，却不能区分任一组内部的点。更一般地，当 $\Sigma_1\subseteq\Sigma_2$ 时，第二种结构至少能够作出第一种结构所能作出的全部可测区分。这是在概率论中将子σ代数解释为受限信息的数学基础。(math.purdue.edu)

可测映射

一个函数

f:(X,\Sigma)\longrightarrow(Y,\mathcal T)

称为可测函数，如果

f^{-1}(B)\in\Sigma\qquad\text{对每个 }B\in\mathcal T\text{ 都成立}.

这一条件使用的是原像，而不是像：关于输出的每个可测问题，都必须对应一个可测的输入集合。若 $\mathcal T=\sigma(\mathcal G)$ ，只需对 $B\in\mathcal G$ 验证这一条件即可。对于以配备博雷尔结构的实数集为目标空间的实值函数，可以检验集合 $\{x:f(x)\leq a\}$ 是否对所有实数 $a$ 都可测。(tamuz.caltech.edu)

拓扑空间之间的连续函数相对于各自的博雷尔σ代数是可测的。不过，可测性本身并不需要拓扑或连续性。(tamuz.caltech.edu)

子空间与乘积

子集 $S\subseteq X$ 无论是否属于 $\Sigma$ ，都可继承迹σ代数

\Sigma|_S=\{S\cap A:A\in\Sigma\}.

这使得 $(S,\Sigma|_S)$ 成为一个可测空间。(mathweb.ucsd.edu)

对于两个可测空间，其笛卡尔积配备乘积σ代数

\Sigma\otimes\mathcal T = \sigma(\{A\times B:A\in\Sigma,\ B\in\mathcal T\}).

这是使两个坐标投影都可测的最小σ代数。类似地，无限乘积也配备由各坐标投影下的原像生成的σ代数。这些构造为联合观测的一组变量提供了可测结构。(mathweb.ucsd.edu)

测度与完备化

测度空间是在可测空间上增加一个可数可加的函数

\mu:\Sigma\longrightarrow[0,\infty], \qquad \mu(\varnothing)=0,

使得对于两两不交的可测集，

\mu\!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n).

因此， $(X,\Sigma)$ 是可测空间，而 $(X,\Sigma,\mu)$ 是测度空间。若 $\mu(X)=1$ ，它就是一个概率空间。同一个可测空间上可以定义不同的测度。(math.cmu.edu)

如果每个可测零测集的所有子集都可测，则称该测度空间是完备的。其完备化会将所有这样的子集加入σ代数。因此，完备化依赖于某个特定的测度，而不仅仅取决于可测空间。(mathweb.ucsd.edu)

例如，将 $\mathbb R$ 上的博雷尔σ代数相对于勒贝格测度进行完备化，便得到勒贝格σ代数。它包含一些并非博雷尔可测的集合。因此，“博雷尔可测”与“勒贝格可测”是不同的概念。(ocw.mit.edu)

标准博雷尔空间

标准博雷尔空间是这样一种可测空间：其σ代数是某个波兰空间拓扑的博雷尔σ代数；这种拓扑由完备可分度量诱导。该拓扑不必作为可测结构的一部分保留下来。(math.ucr.edu)

可测同构是指正向映射和逆映射都可测的双射。每个不可数的标准博雷尔空间都与 $(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$ 可测同构；可数的标准博雷尔空间则以整个幂集作为σ代数。特别地，实数轴与平面在配备各自通常的博雷尔结构后，虽然拓扑结构不同，但作为可测空间是同构的。(math.ucr.edu)

参考来源

Lecture Notes on Measure Theorymath.cmu.edu
Math 330 – Lecture Notes: Student Edition with Proofspeople.math.binghamton.edu
Lecture Notes for Math 205Amath.stanford.edu
Lecture Notes on Probabilitytamuz.caltech.edu
Lecture Notes: Appendix on Standard Borel Spacesmathweb.ucsd.edu
Lecture Notes: Measure and Integrationocw.mit.edu
This Week's Finds in Mathematical Physics: Week 272math.ucr.edu