集合上的 σ-代数是一个包含全集、且对补集和可数并运算封闭的子集族。它规定哪些子集被视为可测集，但本身并不赋予这些子集大小或概率。σ-代数是测度论和概率理论的基础，为测度和概率的定义提供了定义域。(math.ucdavis.edu)
定义与封闭性质
设 (X) 为一个集合，(\mathcal F) 为其子集组成的集合族。如果满足以下条件，则称 (\mathcal F) 为 (X) 上的 σ-代数：
- (X\in\mathcal F)。
- 若 (A\in\mathcal F)，则其补集 (X\setminus A) 也属于 (\mathcal F)。
- 若 (A_1,A_2,\ldots\in\mathcal F)，则它们的并满足 [ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal F. ]
这些条件还蕴含：(\varnothing\in\mathcal F)，可数交属于 (\mathcal F)，且只要 (A,B\in\mathcal F)，就有 (A\setminus B\in\mathcal F)。对交运算的封闭性可由德摩根定律推出： [ \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n
X\setminus\bigcup_{n=1}^{\infty}(X\setminus A_n). ] 有限并和有限交是可数运算的特殊情形。(math.ucdavis.edu)
集合代数要求对补集和有限并运算封闭；σ-代数则进一步要求对可数并运算封闭。这两种定义都不要求对任意不可数并运算封闭。这一区别使可测集能够对许多涉及序列的运算保持封闭，同时又可将底层空间的某些子集排除在外。(math.ucdavis.edu)
示例与生成的 σ-代数
(X) 上最小的 σ-代数是 ({\varnothing,X})，称为平凡 σ-代数。最大的 σ-代数是幂集 (\mathcal P(X))，其中包含 (X) 的所有子集。对于单个子集 (A\subseteq X)，集合族 [ {\varnothing,A,X\setminus A,X} ] 是一个 σ-代数，其中重复的元素只保留一次。(math.ucdavis.edu)
对于任意集合族 (\mathcal C\subseteq\mathcal P(X))，由它生成的 σ-代数记为 (\sigma(\mathcal C))，是包含 (\mathcal C) 的最小 σ-代数。它的存在性源于这样一个事实：同一底层集合上的 σ-代数的交仍是 σ-代数： [ \sigma(\mathcal C)= \bigcap{\mathcal F:\mathcal C\subseteq\mathcal F,\ \mathcal F\text{ 是 }X\text{ 上的 σ-代数}}. ] 因此，一个生成集合族就能确定一种可测结构，而无须逐一列出所有可测集。(math.ucdavis.edu)
例如，取 (X={1,2,3,4})，以及划分 ({{1,2},{3,4}})。所生成的 σ-代数恰好由这两个块的各种并组成： [ {\varnothing,{1,2},{3,4},X}. ] 这一结论可直接由定义得出：上面列出的集合族已经对补集和并运算封闭。
博雷尔集与完备化
在拓扑学中的拓扑空间上，博雷尔 σ-代数由开集生成。它的成员称为博雷尔集。在实数轴上，同一个 σ-代数也可由开区间生成，或由半直线 ((-\infty,a]) 生成。它包含所有开集和闭集，以及通过反复进行可数并与补集运算得到的集合。(math.ucdavis.edu)
如果可测零测集的每个子集都可测，则称测度空间 ((X,\mathcal F,\mu)) 是完备的。完备化通过扩充 (\mathcal F) 来纳入这些子集，并将它们的测度规定为零，从而扩张原有测度。因此，完备性取决于测度，而不只是取决于 σ-代数。(math.ucdavis.edu)
(\mathbb R^n) 上的博雷尔 σ-代数关于勒贝格测度的完备化称为勒贝格 σ-代数。它严格包含博雷尔 σ-代数：博雷尔零测集的某些子集并不是博雷尔集。不过，(\mathbb R^n) 的子集并非全都是勒贝格可测的。(math.ucdavis.edu)
可测空间与函数
二元组 ((X,\mathcal F)) 称为可测空间。与测度空间不同，它规定了哪些子集可测，但并未给出测度。可测函数 (f:(X,\mathcal F)\to(Y,\mathcal G)) 满足 [ f^{-1}(B)\in\mathcal F \qquad\text{对每个 }B\in\mathcal G. ] 这是对原像的要求，而不是对像的要求。当两个拓扑空间都配备各自的博雷尔 σ-代数时，它们之间的每个连续函数都是可测的。可测性在勒贝格积分的定义中也起着核心作用。(math.ucdavis.edu)
对于两个可测空间，其乘积 σ-代数为 [ \mathcal F\otimes\mathcal G
\sigma{A\times B:A\in\mathcal F,\ B\in\mathcal G}. ] 它由可测矩形生成，而不是仅由矩形组成。对于欧几里得空间，其博雷尔 σ-代数的乘积等于乘积空间上的博雷尔 σ-代数。然而，完备测度空间的乘积未必完备。(math.ucdavis.edu)
概率与信息
在概率空间 ((\Omega,\mathcal F,P)) 中，(\Omega) 是样本空间，(\mathcal F) 由事件组成，(P) 为这些事件赋予概率。实值随机变量 (Z) 关于 (\mathcal F) 和博雷尔 σ-代数可测。它生成的 σ-代数 [ \sigma(Z)={Z^{-1}(B):B\in\mathcal B(\mathbb R)} ] 是使 (Z) 可测的最小 σ-代数，代表通过观察 (Z) 就能确定的事件。(math.ucdavis.edu)
子 σ-代数 (\mathcal G\subseteq\mathcal F) 可以表示有限的信息。对于可积随机变量 (Z)，条件期望 (E[Z\mid\mathcal G]) 是 (\mathcal G)-可测的，并且它在 (\mathcal G) 中每个事件上的积分都与 (Z) 在该事件上的积分相同。以平凡 σ-代数为条件时，得到的是常数期望值 (E[Z])。(ocw.mit.edu)
一个递增的 σ-代数族称为滤过（概率论），用于描述随时间推移可获得的信息。滤过提供了定义鞅和研究随机过程所需的信息结构。(ocw.mit.edu)