勒贝格积分是一种利用集合的测度来汇总函数值的积分定义。在欧几里得空间上，它通常采用勒贝格测度，将长度、面积和体积的概念推广；同样的构造也适用于其他测度。与黎曼积分相比，它能对更广泛的一类函数进行积分，并给出了交换积分与取极限运算的精确条件。它是测度论中的一项基本构造。(math.ucdavis.edu)
历史背景与基本思想
亨利·勒贝格于二十世纪初建立了这一理论。他的学位论文《积分、长度、面积》（Intégrale, longueur, aire）发表于1902年，将积分与长度、面积问题一并研究。勒贝格本人在后来一篇关于面积问题的论文中也提到了这篇论文的发表。(numdam.org)
黎曼和在定义域的小区间上选取函数值，再将这些值乘以相应区间的长度。勒贝格积分则允许用在可测集上取常值的函数来逼近，而这些可测集不必是区间。直观地说，它按函数值将点分组，再度量各组的大小。这种描述有助于形成直觉，但并非正式定义。(arxiv.org)
测度空间与形式化构造
这一构造从测度空间 ((X,\Sigma,\mu)) 出发。其中，(X) 是一个集合，(\Sigma) 是由可测子集组成的σ代数，(\mu) 是非负且具有可数可加性的测度。对于可测函数，每个博雷尔集的原像都是可测集；对于实值函数，只需对每个实数 (a)，集合 ({x:f(x)>a}) 都可测即可。(math.ucdavis.edu)
非负简单函数只取有限多个值，可以写成 [ s=\sum_{k=1}^{m}a_k\mathbf 1_{A_k}, ] 其中，(A_k) 是两两不交的可测集，(a_k\geq0)，(\mathbf 1_{A_k}) 是集合 (A_k) 的示性函数。定义 [ \int_Xs,d\mu=\sum_{k=1}^{m}a_k\mu(A_k), ] 并约定 (0\cdot\infty=0)。对于非负可测函数 (f)，定义 [ \int_Xf,d\mu =\sup\left{\int_Xs,d\mu: s\text{ 为非负简单函数},\ s\leq f\right}. ] 所得结果可以是无穷大。(math.ucdavis.edu)
对于可取正负值的函数，令 (f^+=\max(f,0))，(f^-=\max(-f,0))。只要不涉及无穷大减无穷大，其积分就定义为 [ \int_Xf,d\mu=\int_Xf^+,d\mu-\int_Xf^-,d\mu. ] 若 (\int_X|f|,d\mu<\infty)，则称该函数勒贝格可积。取复数值的函数则通过分别对其实部和虚部积分来定义积分。(logic.ucla.edu)
基本性质及与黎曼积分的比较
对于可积函数，积分具有线性性、保序性，并满足 [ \left|\int_Xf,d\mu\right|\leq\int_X|f|,d\mu. ] 两个几乎处处相等的可测函数具有相同的积分：在零测集上改变函数值不会影响积分。因此，积分取决于函数的等价类，而非每一个点上的具体函数值。(logic.ucla.edu)
在紧区间上，每个黎曼可积函数都勒贝格可积，而且两种积分的值相同。勒贝格判别准则指出，有界函数黎曼可积，当且仅当它的不连续点构成一个勒贝格测度为零的集合。特别地，这种区间上的每个连续函数在两种意义下都可积。(maths-people.anu.edu.au)
例如，令 (f) 在 ([0,1]) 中的有理数点处取值为一，在其余点处取值为零。有理数构成一个测度为零的可数集，因此该函数的勒贝格积分为零。然而，每个区间都包含有理数点和无理数点，所以它的黎曼下和均为零，上和均为一。因此，它不是黎曼可积函数。(arxiv.org)
仅靠正负抵消而收敛的反常黎曼积分，其被积函数未必勒贝格可积。勒贝格可积要求绝对可积，而不只是某个特定的截断积分序列收敛。(maths-people.anu.edu.au)
收敛定理
以下三个结果描述了积分与极限之间的关系：
- 单调收敛定理指出，若几乎处处有 (0\leq f_n\uparrow f)，则 [ \int_X f,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_X f_n,d\mu, ] 其中允许取无穷值。
- 法图引理指出，对于非负可测函数， [ \int_X\liminf_{n\to\infty}f_n,d\mu \leq\liminf_{n\to\infty}\int_Xf_n,d\mu. ]
- 控制收敛定理指出，若 (f_n\to f) 几乎处处成立，且存在一个共同的可积函数 (g)，使得几乎处处有 (|f_n|\leq g)，则 (f) 可积，且 [ \int_X|f_n-f|,d\mu\to0. ] 因而，(f_n) 的积分收敛于 (f) 的积分。(arxiv.org)
仅有逐点收敛并不足够。例如，在 ([0,1]) 上，(f_n=n\mathbf1_{(0,1/n)}) 处处收敛于零，但每个函数的积分都等于一。控制条件可以防止这种质量集中现象导致积分与取极限无法交换。(maths-people.anu.edu.au)
乘积空间上的积分与应用
对于σ有限的测度空间，托内利定理允许对乘积空间上的非负可测函数按任一顺序进行积分，即使结果为无穷大也成立。富比尼定理则对绝对可积函数给出了相应的等式。这些结果提供了保证累次积分成立所需的条件。(math.ucdavis.edu)
在概率论中，概率空间是总测度为一的测度空间。可积随机变量 (Y) 的期望值为 [ \mathbb E[Y]=\int_\Omega Y,d\mathbb P. ] 这一表述用同一个定义涵盖了离散分布、连续分布和混合分布。(logic.ucla.edu)
在泛函分析中，勒贝格积分用于定义Lp空间，其中几乎处处相等的函数被视为同一个元素。对于 (1\leq p<\infty)， [ |f|_p=\left(\int_X|f|^p,d\mu\right)^{1/p}. ] 这些空间是完备的赋范空间，即巴拿赫空间。空间 (L^2) 配备内积 (\int_Xf\overline g,d\mu) 后，是一个希尔伯特空间。(maths-people.anu.edu.au)