绝对连续

绝对连续是一个数学性质，在函数和测度中的含义密切相关。对于定义在实区间上的函数，若任取有限个互不相交的子区间，当这些子区间的长度总和足够小时，函数在这些区间上的总变化量就能任意小，则称该函数绝对连续。对于测度，绝对连续表示一种关系：若每个 $\mu$-零测可测集也是 $\nu$-零测集，则称测度 $\nu$ 关于测度 $\mu$ 绝对连续，记作 $\nu\ll\mu$。这两种定义通过有界变差函数所关联的测度联系起来。(math.ucdavis.edu)

这一概念为结合勒贝格积分表述微积分基本定理提供了精确框架：紧区间上的绝对连续函数可以通过对其导数积分还原。在测度论中，拉东–尼科迪姆定理在适当条件下用密度刻画绝对连续测度。这些联系构成了概率分布、索伯列夫空间中的弱导数，以及取值于度量空间的曲线等理论的基础。(math.ucdavis.edu)

区间上函数的定义

设 $a<b$ 为实数。若对每个 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得任意有限个两两不相交的开区间 $(a_i,b_i)$（端点属于 $[a,b]$）满足

则称函数 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 绝对连续。这里 $n$ 是任意正整数，且 $a_i<b_i$。等价地，也可以使用内部互不相交的闭子区间：相邻子区间可以共用端点，因为条件考察的是区间长度和端点处的函数增量。所有这类实值函数构成的集合记为 $AC([a,b])$。(math.purdue.edu)

量词的顺序至关重要。固定 $\varepsilon$ 后，同一个 $\delta$ 必须适用于所有符合条件的区间族，不受区间数量和区间位置影响。它可以依赖于 $f$、$\varepsilon$ 以及所在区间，但不能依赖于 $n$ 或所选端点。假设限制的是总长度，而不只是要求每个区间都很短。同样，结论限制的是绝对增量之和，而不是这些增量之和的绝对值；因此，函数的增加和减少不能相互抵消。取 $n=1$ 即得 一致连续性，而完整定义还额外控制了任意多个互不相交区间上的累积增量。(math.purdue.edu)

对于取值于 复数 的函数，定义不变，只需用复模替代实数绝对值。写作 $f=u+iv$ 时，这等价于实值分量 $u$ 和 $v$ 都绝对连续。事实上，每个分量的增量都不超过相应的复数增量；反过来，

对两个分量分别取容许误差 $\varepsilon/2$，再取它们各自可用的两个 $\delta$ 中较小者，即可证明反向结论。(math.libretexts.org)

对于一般区间 $I\subseteq\mathbb R$，若函数在每个紧子区间 $[c,d]\subseteq I$ 上的限制都属于 $AC([c,d])$，则称其为局部绝对连续，记作 $f\in AC_{\mathrm{loc}}(I)$。此时，容许的 $\delta$ 可以依赖于 $[c,d]$。相比之下，区间 $I$ 上的全局绝对连续性按互不相交区间的定义，要求同一个 $\delta$ 适用于整个 $I$ 上的所有有限区间族。当 $I$ 本身是紧区间时，这两个条件等价；但在无界区间上则不一定等价。(sciencedirect.com)

例如，$f(x)=x^2$ 在 $\mathbb R$ 上局部绝对连续。在 $[-M,M]$ 上，其中 $M>0$，估计式

表明取 $\delta=\varepsilon/(2M)$ 足以满足定义中的不等式。然而，全局条件并不成立。固定 $\varepsilon=1$；给定任意 $\delta>0$，令 $h=\delta/2$，并选取 $x>1/(2h)$。单个区间 $(x,x+h)$ 的长度小于 $\delta$，但

因此，不能用紧区间上的界替代适用于整条实数轴且与位置无关的界。这直接体现了局部定义与全局定义之间的区别。(sciencedirect.com)

与其他正则性性质的比较

在紧区间 $[a,b]$ 上，主要的蕴含关系为

其中最后一个空间由一致连续函数组成。对于 $f\in C^1([a,b])$，由紧致性可知，导数有界，且 $M=\max_{[a,b]}|f'|$；由中值定理可得 $|f(y)-f(x)|\le M|y-x|$。若 $f$ 是常数为 $L>0$ 的利普希茨连续函数，则其在互不相交区间上的增量满足

因此，取 $\delta=\varepsilon/L$ 即可得到绝对连续性；对于常函数，$\delta$ 不受限制。只需在绝对连续性的定义中取一个区间，即可得到一致连续性。第一个包含关系是严格的，因为 $f(x)=|x|$ 在 $[-1,1]$ 上是常数为 $1$ 的利普希茨连续函数，但在 $0$ 处不可导。(math.ucdavis.edu)

绝对连续性还蕴含有界变差，也就是说，

这可直接由定义推出。取 $\varepsilon=1$ 对应的 $\delta$，并将 $[a,b]$ 划分为 $m$ 个固定区间，使每个区间的长度都小于 $\delta$。用这些区间的端点细化任意给定的分割。在每个固定区间内，细化后各段增量绝对值之和小于 $1$，因此总和小于 $m$。细化不会减小变差和，故所有原分割的变差和都有一个统一上界。单有有界变差并不能保证连续：在 $[0,1]$ 上，定义为 $x<1/2$ 时取 $0$、$x\ge1/2$ 时取 $1$ 的阶跃函数，其变差为 $1$，但在 $1/2$ 处有跳跃。(math.purdue.edu)

函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$ 上说明了绝对连续性与利普希茨连续性的区别。对于 $x>0$，有 $f'(x)=1/(2\sqrt{x})$，且

积分表示说明该函数绝对连续，尽管其导数在 $0$ 附近无界。由于

因此不存在有限的利普希茨常数。由此可见，绝对连续性允许这种端点奇异性；利普希茨连续性则要求所有割线斜率都有统一上界。(math.ualberta.ca)

康托尔函数 $C:[0,1]\to[0,1]$ 说明了绝对连续性与一致连续性、有界变差的连续函数之间的区别。它连续且单调不减，满足 $C(0)=0$、$C(1)=1$，因此其总变差为 $1$。它在中三分康托尔集康托尔集的每个补区间上都是常数。由于该集合的勒贝格测度为零，$C'=0$ 几乎处处成立，尽管 $C$ 并非常数。(math.purdue.edu)

不满足绝对连续性也可以不借助导数判据来说明。在康托尔集构造的第 $n$ 阶段，剩余的 $2^n$ 个区间总长度为 $(2/3)^n$，而 $C$ 在这些区间上的增量总和仍为 $1$：被移除的间隙不贡献增量。因此，任意小的区间总长度都可能承载固定的总增量，这与取 $\varepsilon=1/2$ 的定义相矛盾。等价地，对 $C'=0$ 积分得到的是 $0$，而不是 $C(1)-C(0)=1$；几乎处处可导且导数可积，本身并不能保证能由函数的导数还原函数。(math.ucdavis.edu)

积分刻画与微积分基本定理

函数 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 绝对连续，当且仅当存在函数 $g\in [[lp-space|L^1([a,b])]]$，使得

这里的积分是勒贝格积分，而 $g\in L^1$ 意味着 $g$ 可测且 $\int_a^b|g(t)|\,dt<\infty$。因此，绝对连续性恰好刻画了那些可由可积函数积分后再加上一个常数得到的函数。这个等式对每一点都成立，包括端点，而不仅仅是几乎处处成立。(math.ucdavis.edu)

对于绝对连续函数，经典导数 $f'$ 在 $(a,b)$ 上几乎处处存在，属于 $L^1([a,b])$，并且几乎处处等于表示函数 $g$。在例外的零测集上为 $f'$ 赋予的值不会影响其积分。反过来，任意 $L^1$ 函数的不定积分，其导数几乎处处等于被积函数。在两个点处分别写出积分表示并作差，即得微积分基本定理的勒贝格形式：

因此，导数几乎处处为零的绝对连续函数必为常数。(math.ucdavis.edu)

从积分到函数这一方向背后的机制是积分的绝对连续性。对于 $g\in L^1([a,b])$ 和任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得每个可测集 $E\subseteq[a,b]$ 都满足

其中 $m$ 表示勒贝格测度。这个估计不要求 $g$ 有界。取足够大的 $M>0$，使得

将 $E$ 分成 $|g|\leq M$ 和 $|g|>M$ 的部分，可得

取 $\delta=\varepsilon/(2M)$ 即可证明上述结论：可积性控制函数取大值部分的尾部，而测度小则控制有界部分。(math.ucdavis.edu)

对于有限个互不相交的子区间 $(a_i,b_i)$，令 $E=\bigcup_i(a_i,b_i)$。积分表示给出

由于 $m(E)=\sum_i(b_i-a_i)$，小集合估计恰好给出所需的绝对连续性界，而且与区间的个数及位置无关。(math.purdue.edu)

仅凭几乎处处可微以及导数可积，并不能推出函数可由积分恢复。康托函数 $C$ 在 $[0,1]$ 上几乎处处满足 $C'=0$，但 $C(1)-C(0)=1$，而 $\int_0^1C'(t)\,dt=0$。因此，积分其几乎处处导数无法恢复它的增量。这一刻画要求三个条件同时成立：导数几乎处处存在、导数可积，以及函数的每个增量都能由积分恢复。(math.purdue.edu)

代数运算与微积分法则

在紧区间 $[a,b]$ 上，空间 $AC([a,b])$ 对线性组合和逐点乘积封闭。若 $f,g\in AC([a,b])$，且 $\alpha,\beta$ 为常数，则 $\alpha f+\beta g\in AC([a,b])$，其导数几乎处处为 $\alpha f'+\beta g'$。乘法封闭性依赖于有界性：绝对连续性蕴含连续性，因此 $M_f=\sup_{[a,b]}|f|$ 和 $M_g=\sup_{[a,b]}|g|$ 均有限。对任意 $x,y\in[a,b]$，

将这一估计对互不相交的子区间求和，即可证明 $fg$ 绝对连续。在 $f$ 和 $g$ 的导数都存在的每一点，普通乘积法则成立：

因此，该法则几乎处处成立，无须要求任一导数连续。(gyansanchay.csjmu.ac.in)

当分母远离零时，商也满足绝对连续性。设在整个 $[a,b]$ 上都有 $|g(x)|\ge c>0$。估计式

直接表明 $1/g$ 绝对连续；再由乘法封闭性可得 $f/g\in AC([a,b])$。对于紧区间上的连续分母，只要它处处非零，就必然存在这样的常数 $c$。商法则几乎处处成立：

右端可积，因为 $f,g$ 有界，$f',g'$ 可积，且 $1/|g|^2\le c^{-2}$。(gyansanchay.csjmu.ac.in)

对于函数复合，外层函数满足 Lipschitz 连续性是保证复合后仍绝对连续的一个充分条件。设 $f\in AC([a,b])$，且 $\Phi$ 在包含 $f([a,b])$ 的区间上以常数 $L$ 满足 Lipschitz 条件。则

所以 $\Phi\circ f$ 绝对连续。这包括 $|f|$，因为 $u\mapsto|u|$ 是 $1$-Lipschitz 函数。如果 $\Phi$ 在包含 $f$ 的紧值域的某个开区间上局部满足 Lipschitz 条件，也同样足够：可将 $\Phi$ 限制在一个紧区间上，使其具有有限的 Lipschitz 常数。(devel.isa-afp.org)

对于几乎处处成立的链式法则，一个直接的充分条件是：$\Phi$ 在包含 $f([a,b])$ 的某个开区间上连续可微。其导数在紧值域上有界，且在 $f$ 可微的每一点都有

右端属于 $L^1([a,b])$。更一般地，若外层函数是 Lipschitz 函数，则在它于 $f(x)$ 处可微的点上，经典链式法则成立。单凭 Lipschitz 连续性，不能保证这个逐点表达式处处有意义：例如 $\Phi(u)=|u|$ 时，$\Phi'(0)$ 无定义。尽管如此，复合函数仍然绝对连续，并且几乎处处可微。(cs.cornell.edu)

分部积分法可通过对绝对连续的乘积 $fg$ 应用微积分基本定理得到。其导数中的两项都是 Lebesgue 可积的，因为

对乘积法则积分并整理，得到

仅有连续性和几乎处处可微并不足够。若在 $[0,1]$ 上令两个因子都等于 Cantor 函数，那么两个导数积分都为零，而边界项等于 $1$；绝对连续性恰好排除了这种无法由导数积分恢复的变化。(math.ucdavis.edu)

测度的绝对连续性

设 $\mu$ 和 $\nu$ 是定义在同一 可测空间 $(X,\mathcal F)$ 上的正测度。如果

则称测度 $\nu$ 相对于 $\mu$ 绝对连续，记作 $\nu\ll\mu$。方向十分重要：每个 $\mu$-零测集都必须是 $\nu$-零测集，反过来则未必成立。这个定义既不要求测度有限，也不要求它们是 $\sigma$-有限测度；它比较的是零测集，而不是测度的数值大小。例如，在 $\mathbb R$ 的 Borel 子集上，令 $m$ 为勒贝格测度，并定义 $\nu(E)=m(E\cap[0,1])$。则 $\nu\ll m$，但 $m\not\ll\nu$，因为 $\nu((2,3))=0$，而 $m((2,3))=1$。（sites.math.rutgers.edu）

绝对连续性具有自反性和传递性：若 $\rho\ll\nu$ 且 $\nu\ll\mu$，则一个 $\mu$-零测集首先是 $\nu$-零测集，进而也是 $\rho$-零测集。如果 $\nu\ll\mu$ 且 $\mu\ll\nu$，则称这两个测度彼此绝对连续，或称等价；通常记作 $\mu\sim\nu$。换言之，它们具有完全相同的可测零测集。因此，等价测度下“几乎处处成立”的说法含义相同，尽管它们在集合上的测度值未必相等。例如，$m$ 与 $2m$ 等价。等价关系是固定可测空间上所定义测度之间的一种等价关系。（mat.univie.ac.at）

当 $\nu(X)<\infty$ 时，零测集意义下的绝对连续性等价于一致的小集判据：

这里不需要假设 $\mu$ 有限。（math.ou.edu）这一判据的原理可以直接看出。假设 $\nu\ll\mu$，但该判据不成立，那么存在某个 $\varepsilon_0>0$ 及一列集合 $E_n$，使得 $\mu(E_n)<2^{-n}$，且 $\nu(E_n)\geq\varepsilon_0$。令 $F_n=\bigcup_{k\geq n}E_k$。于是 $F_n$ 递减，$\mu(F_n)\leq2^{1-n}$，并且 $F=\bigcap_nF_n$ 是 $\mu$-零测集。但有限测度 $\nu$ 的从上连续性给出 $\nu(F)=\lim_n\nu(F_n)\geq\varepsilon_0$，这与绝对连续性矛盾。反之，将该判据应用于一个 $\mu$-零测集，可知其 $\nu$-测度小于任意正数。有限性条件不能直接去掉：在 $(0,1)$ 上定义测度 $\nu(E)=\int_E x^{-1}\,dx$。该测度相对于勒贝格测度绝对连续，但对每个 $t>0$，都有 $\nu((0,t))=\infty$。

若存在 $S\in\mathcal F$，使得 $\mu(S)=0$ 且 $\nu(X\setminus S)=0$，则称两个正测度 彼此奇异，记作 $\nu\perp\mu$。因此，它们分别集中在空间中互不相交的可测部分上。单位点质量 $\delta_0$ 与勒贝格测度彼此奇异，可取 $S=\{0\}$。奇异性强于仅仅不满足绝对连续性：在 $[0,1]$ 上，$\nu=m+\delta_0$ 不相对于 $m$ 绝对连续，但也不与 $m$ 奇异，因为它仍包含勒贝格测度部分。事实上，对每个 $m$-零测集 $S$，都有 $\nu([0,1]\setminus S)\geq1$。一个相对于 $\mu$ 既绝对连续又奇异的正测度必为零测度。（sites.math.rutgers.edu）

对于有限 符号测度 $\nu$，绝对连续性的定义通过其 全变差测度 $|\nu|=\nu^++\nu^-$ 来表述，其中 $\nu^+$ 和 $\nu^-$ 分别是其正部和负部：$\nu\ll\mu$ 意味着 $|\nu|\ll\mu$。等价地，对每个 $\mu$-零测可测集 $E$，都有 $\nu(E)=0$。这种等价性不会因抵消而失效，因为 $\mu$-零测集的每个可测子集也都是 $\mu$-零测集。因此，小集判据相应地使用 $|\nu|(E)<\varepsilon$，以控制正变差和负变差。奇异性也通过全变差来定义；对于两个有限符号测度，它意味着 $|\nu|\perp|\mu|$。（math.columbia.edu）

密度与拉东—尼科迪姆定理

设 $\mu$ 和 $\nu$ 是同一可测空间 $(X,\Sigma)$ 上的 σ 有限正测度：每个测度都允许用可测集的可数覆盖覆盖 $X$，且这些集合的测度有限。拉东—尼科迪姆定理指出，若 $\nu\ll\mu$，则存在一个非负的可测函数 $h$，使其在 $\mu$-几乎处处有限，并且

这个函数称为拉东—尼科迪姆导数，记作 $h=d\nu/d\mu$。反过来，由此类积分定义的测度相对于 $\mu$ 绝对连续，因为在 $\mu$-零测集上的积分为零。密度在 $\mu$-几乎处处意义下唯一，但不一定在每一点都唯一。(sites.math.rutgers.edu)

σ 有限性并不意味着 $h$ 整体属于$L^1(\mu)$空间。事实上，

因此，当且仅当 $\nu$ 有限时，$h\in L^1(\mu)$。对于 σ 有限测度，可以将 $X$ 划分为可数个可测部分，使两个测度在每个部分上都有限；密度在每个部分上都可积。举例来说，若 $\nu=\mu$ 是 $\mathbb R$ 上的勒贝格测度，则 $d\nu/d\mu=1$，它处处有限，却不能在整条实数轴上积分。(sites.math.rutgers.edu)

定义中的恒等式可以通过换测度公式从集合推广到函数：

对于任意非负可测函数 $\varphi$，该公式成立，两边都允许取无穷大；对于任意实值或复值的 $\nu$-可积函数 $\varphi$，该公式也成立。在后一种情形下，$\int_X|\varphi|h\,d\mu<\infty$。证明思路是先对示性函数建立恒等式，再通过线性性将其推广到非负简单函数，随后应用单调收敛定理；对于可积实值函数，则分别处理正部和负部。(math.wustl.edu)

对于满足 $\lambda\ll\nu\ll\mu$ 的三个 σ 有限正测度，测度论中的链式法则为

在 $d\nu/d\mu=0$ 的地方，可将乘积定义为零；在 $\nu$-零测集上对 $d\lambda/d\nu$ 所作的改动，不会影响所得的 $\mu$-几乎处处恒等式。若 $\mu$ 与 $\nu$ 等价，即二者互相绝对连续，则对于这两个测度，几乎处处都有 $0<h<\infty$，并且

共同例外零测集上的取值可以任意选定。(uab.edu)

一种与约翰·冯·诺依曼相关的证明方法使用希尔伯特空间方法。对于有限测度 $\mu,\nu$，令 $\rho=\mu+\nu$。泛函 $T(f)=\int_X f\,d\nu$ 在 $L^2(\rho)$ 上有界，因为

由里斯表示定理，存在 $g\in L^2(\rho)$，使得 $T(f)=\int_X fg\,d\rho$。对示性函数进行检验可得 $0\leq g\leq1$、$d\nu=g\,d\rho$ 以及 $d\mu=(1-g)\,d\rho$。绝对连续性迫使集合 $\{g=1\}$ 为 $\rho$-零测集，因此在该集合之外，$h=g/(1-g)$ 就是所需的密度。在一个共同的可数有限测度划分上应用这一构造，即可证明 σ 有限情形。(sites.math.rutgers.edu)

斯蒂尔切斯测度、奇异变化与零测集保持

对于非减右连续函数 $F:\mathbb R\to\mathbb R$，其 勒贝格–斯蒂尔切斯测度是满足下式的唯一博雷尔测度 $\mu_F$：

区间增量定义了一个前测度，再由卡拉西奥多里构造将其扩张到博雷尔σ代数。要采用 $(s,t]$ 这一约定，右连续性至关重要；任意非减函数都必须先替换为其右连续版本。给 $F$ 加上常数不会改变测度。函数的跳跃对应一个点质量：

因此，$F(x)=x$ 产生勒贝格测度，而 $F(x)=\mathbf 1_{[c,\infty)}(x)$ 则在 $c$ 处产生单位质量。(math.ucdavis.edu)

在紧区间 $[a,b]$ 上，设 $F$ 非减且右连续，并对其关联测度作规范化，使 $\mu_F(\{a\})=0$。那么，$F$ 绝对连续当且仅当 $\mu_F\ll\lambda$，其中 $\lambda$ 表示该区间上的勒贝格测度。正向地，对每个博雷尔集 $E$，都有

反过来，若 $\mu_F\ll\lambda$，则其拉东–尼科迪姆密度 $h$ 非负且可积，而区间恒等式给出

因此，积分表示可证明 $F$ 绝对连续。对于非单调但有界变差的连续函数，类似构造会得到一个带符号的斯蒂尔切斯测度；函数绝对连续等价于该带符号测度绝对连续，也等价于其全变差测度绝对连续。(terrytao.wordpress.com)

勒贝格分解定理再结合对原子的分离，可将 $\mathbb R$ 上每个有限正博雷尔测度唯一地分解为

其中 $c_k=\mu(\{x_k\})>0$，原子至多可数，且 $\sum_k c_k<\infty$。奇异连续分量 $\mu_{\mathrm{sc}}$ 集中于一个勒贝格零测集上，但对每个单点都赋予零质量。因此，相应的非减函数可在相差一个加法常数的意义下，分解为绝对连续部分、跳跃部分和连续奇异部分。后两者构成奇异变化：它们产生区间增量，却不对几乎处处的经典导数作出贡献。(terrytao.wordpress.com)

将康托函数 $C$ 延拓为在 $[0,1]$ 之外取常值的函数，可以说明奇异连续变化。它的斯蒂尔切斯测度总质量为 $1$，集中于康托集 $K$，且由于 $C$ 连续，该测度没有原子。然而，$\lambda(K)=0$，并且 $C'=0$ 几乎处处，因此对经典导数积分无法恢复 $C$ 从 $C(0)=0$ 增至 $C(1)=1$ 的任何部分。相同的障碍也体现在像集上：$C(K)=[0,1]$，也就是说，一个零测集被映射到测度为 $1$ 的集合。(sites.math.rutgers.edu)

巴拿赫–扎雷茨基定理刻画了任意定义在 $[a,b]$ 上的实值函数所遇到的这一障碍：$f$ 绝对连续，当且仅当它连续、有界变差，并满足卢津性质 $N$。该性质指对每个 $E\subseteq[a,b]$，都有

其中采用外测度 $\lambda^*$，以避免事先假设像集可测。连续性排除了跳跃，有界变差控制累积变化的总量，而性质 $N$ 排除了剩余的奇异连续变化。康托函数满足前两个条件，却恰恰在 $K$ 上不满足第三个条件。(arxiv.org)

绝对连续的概率分布

若 $\mathbb R$ 上的概率分布 $\mu$ 满足：对每个博雷尔集 $A$，只要 $\lambda(A)=0$，就有 $\mu(A)=0$，则称 $\mu$ 关于勒贝格测度 $\lambda$ 绝对连续。等价地，$\mu$ 有一个概率密度函数：非负可测函数 $p=d\mu/d\lambda$，满足

该密度在勒贝格几乎处处意义下唯一。在某个单独点上的函数值并不是该点的概率；事实上，每个单点集的概率都为零。概率是通过对集合积分得到的，而不是通过计算 $p$ 的函数值获得的。(ocw.mit.edu)

因此，累积分布函数 $F(x)=\mu((-\infty,x])$ 满足

所以 $F$ 绝对连续，且 $F'(x)=p(x)$ 几乎处处成立。反过来，绝对连续的累积分布函数可由其几乎处处导数确定一个密度。例如，区间 $[0,1]$ 上的均匀分布的密度为 $p=\mathbf 1_{[0,1]}$，其累积分布函数在 $0$ 以下等于 $0$，在 $[0,1]$ 上等于 $x$，在 $1$ 以上等于 $1$。仅仅几乎处处可导并不足够：导数必须通过积分还原全部概率。(services.math.duke.edu)

离散分布将概率集中在可数集上，因此不可能关于勒贝格测度绝对连续。然而，排除点质量并不能保证绝对连续。对任意累积分布函数，都有

因此 $F$ 连续等价于分布没有原子，而不等价于存在勒贝格密度。康托分布就是一个具体的反例。设 $B_1,B_2,\ldots$ 是相互独立的随机变量，各以 $1/2$ 的概率取 $0$ 和 $1$，并令

则 $Y$ 以概率 $1$ 落在勒贝格测度为零的中三分康托集 $C$ 中。在第 $n$ 阶构造中剩余的 $2^n$ 个区间各自的概率为 $2^{-n}$，这意味着没有任何单点具有正概率。它的累积分布函数连续，但几乎处处导数为零：这一分布是奇异连续分布，既非离散分布，也非绝对连续分布。(sites.math.duke.edu)

绝对连续性总是相对于指定的参考测度而言。若一个分布支撑在可数集 $S$ 上，则 $S$ 上的计数测度 $c$ 可使其具有密度

这正是它的概率质量函数，而积分则转化为求和：$\mu(A)=\sum_{s\in A\cap S}\mu(\{s\})$。因此，说离散分布“没有密度”，是指它没有相对于勒贝格测度的密度；这并不排除它相对于其他测度具有密度。(stat.yale.edu)

更一般地，设 $P$ 和 $Q$ 是同一可测空间上的概率测度，且 $Q\ll P$。它们的拉东–尼科迪姆导数 $Z=dQ/dP$ 是一个非负可测权重，满足

换测度恒等式为

对非负可测的 $X$，即使期望为无穷，该恒等式仍成立；对带符号的 $X$，只要 $\mathbb E_Q[|X|]=\mathbb E_P[|X|Z]<\infty$，该恒等式也成立。因此，$Z$ 可以重新加权概率和期望值，而不会给任何 $P$-零测事件赋予正概率。它不必处处为正：$Q\ll P$ 并不要求 $P\ll Q$。(ocw.mit.edu)

索伯列夫空间与微分方程

在有界区间 $(a,b)$ 上，索伯列夫空间 $W^{1,1}(a,b)$ 由满足以下条件的函数组成：$u\in L^1(a,b)$，且存在一个属于 $L^1(a,b)$ 的弱导数 $g$，使得对每个光滑且紧支撑的试验函数 $\varphi$，都有

每个这样的 $u$ 都有一个定义在 $[a,b]$ 上的绝对连续代表元 $\widetilde u$，满足

其原理是：从 $u$ 中减去 $g$ 的不定积分后，所得函数的弱导数为零，因此它几乎处处为常数。反过来，通过分部积分可知，绝对连续函数属于 $W^{1,1}(a,b)$，其弱导数几乎处处等于经典导数。(math.ucdavis.edu)

严格来说，$W^{1,1}(a,b)$ 的元素是按几乎处处相等关系取商得到的等价类，而不是在每一点都指定了取值的函数。在一个内部点改变函数值不会改变其索伯列夫元素，但可能破坏连续性。它的连续代表元是唯一的：两个几乎处处相等的连续函数必处处相等。因此，$\widetilde u(a)$ 和 $\widetilde u(b)$ 是定义良好的端点值，或称迹；它们由等价类确定，而非由任意指定的端点值决定。(math.ucdavis.edu)

对每个 $1\leq p\leq\infty$，相应的刻画为

由于区间有界，$L^p(a,b)\subset L^1(a,b)$；而绝对连续代表元有界，因此属于 $L^p(a,b)$。当 $1<p<\infty$ 时，对 $\widetilde u'$ 的积分应用霍尔德不等式可得

因此，该代表元具有指数为 $1-1/p$ 的霍尔德连续性。当 $p=\infty$ 时，估计式变为

从而得到利普希茨连续性；反过来，$[a,b]$ 上的每个利普希茨函数都定义了 $W^{1,\infty}(a,b)$ 中的一个元素。(people.cas.uab.edu)

在高维情形中，相应关系表现为沿直线的绝对连续性。若 $\Omega\subset\mathbb R^n$ 是开集且 $u\in W^{1,p}(\Omega)$，则存在一个合适的代表元，使其在几乎所有平行于各坐标轴的直线上的每个紧子区间限制为绝对连续函数。这里的“几乎所有”是指横向坐标上的 $(n-1)$ 维勒贝格测度意义下几乎处处。在这些直线上，该函数的经典导数几乎处处与相应的弱偏导数一致。这并不意味着函数在整个 $\Omega$ 上连续，也不意味着它沿每一条直线都绝对连续。反过来，若满足这一逐线性质，且 $u\in L^p(\Omega)$、逐线导数属于 $L^p(\Omega)$，则这些条件刻画了 $W^{1,p}(\Omega)$。(math.ucv.ro)

对于普通微分方程，绝对连续性使初值问题可以用下式来诠释：

只要 $s\mapsto f(s,x(s))$ 可积，这一恒等式就等价于：$x$ 绝对连续，满足 $x(t_0)=x_0$，且 $x'(t)=f(t,x(t))$ 几乎处处成立。卡拉泰奥多里表述允许右端项关于时间可测、对状态变量在几乎所有时间连续，并具有局部可积的界。(karlin.mff.cuni.cz) 例如，Gerald Teschl 给出了 $x'=\operatorname{sgn}(t)x$、$x(0)=1$ 这一例子：其解 $x(t)=e^{|t|}$ 在紧区间上绝对连续，且几乎处处满足方程，尽管它在 $t=0$ 处不可导。(schecter.math.ncsu.edu)

度量空间中的绝对连续曲线

设 $(X,d)$ 是一个度量空间，且 $\gamma:[a,b]\to X$。若对每个 $\varepsilon>0$，都存在一个 $\delta>0$，使得对于任意有限个两两内部不相交的子区间 $(a_i,b_i)\subseteq[a,b]$，都有

则称曲线绝对连续。这一定义以距离取代标量增量的绝对值，无需在 $X$ 中定义加法或减法。在紧参数区间上，这等价于存在一个非负函数 $g\in L^1(a,b)$，使得

积分界之所以蕴含区间条件，是因为 $g$ 在勒贝格测度足够小的集合上的积分也很小。反过来，区间条件使曲线的累积变差成为绝对连续的标量函数；该函数的导数便给出这样的控制函数 $g$。(arxiv.org)

曲线的内蕴速度是度量导数，在以下极限存在处定义：

对于绝对连续曲线，该极限几乎处处存在，属于 $L^1(a,b)$，且自身满足积分界。此外，它是最小的可行控制函数：对于任何满足该积分界的 $g$，都有 $|\dot\gamma|\leq g$ 几乎处处。因此，即使目标空间没有切向量，度量微分仍能给出一个标量速度。例如，路易吉·安布罗西奥和朱塞佩·萨瓦雷在 2007 年关于概率测度梯度流的讲义中介绍了这一存在性与极小性定理。(web.math.ucsb.edu)

任意子区间上的长度恰好等于该速度的积分：

因此，绝对连续曲线具有有限长度。该公式计算的是沿曲线运动的总量，而不仅是端点之间的距离；后者可能严格更小。绝对连续性是参数化曲线的性质：仅有有限长度和连续性，并不足以保证曲线在任意参数化下都绝对连续。(research-collection.ethz.ch)

对于 $1\leq p\leq\infty$，记号 $AC^p([a,b];X)$ 表示积分界成立且控制函数属于 $L^p$ 空间；这等价于曲线绝对连续且 $|\dot\gamma|\in L^p$。因此 $AC^1=AC$。当 $1<p<\infty$ 时，由 Hölder 不等式可得

当 $p=\infty$ 时，界变为 $d(\gamma(s),\gamma(t))\leq\|\,|\dot\gamma|\,\|_\infty|t-s|$，因此 $AC^\infty$ 恰好是 Lipschitz 曲线类。(web.math.ucsb.edu)

在光滑黎曼流形上，采用黎曼距离即可恢复通常的绝对连续曲线概念，且度量速度几乎处处等于速度向量的黎曼范数。对于配备Wasserstein 距离的概率测度路径，同样适用这些定义，例如 $(\mathcal P_2(\mathbb R^n),W_2)$。这里的正则性针对的是参数化路径，而非其中各个测度是否具有密度。例如，在 $[0,1]$ 上的路径 $\mu_t=\delta_t$ 满足 $W_2(\delta_s,\delta_t)=|s-t|$：它是速度为 $1$ 的 Lipschitz 曲线，尽管每个 $\mu_t$ 相对于勒贝格测度都是奇异的。反过来，取某个奇异测度为常值的路径，其速度为零。这些例子可直接由 $W_2$ 的传输定义推出；测度值路径的连续性或绝对连续性，都不意味着其各个测度相对于某个参考测度绝对连续。(cvgmt.sns.it)

参考来源

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