均匀分布 · aiwiki.page

均匀分布是一种将概率均匀分配到指定集合上的概率分布。在离散情形下，有限集合中的每个结果具有相同的概率。在连续情形下，有界区间内长度相等的子区间具有相同的概率。“矩形分布”这一名称源于连续均匀分布的密度图像呈矩形。均匀分布既是随机选择的基本模型，也是构建模拟方法的基础。(randomservices.org)

离散均匀分布

当随机变量 $X$ 的概率质量函数满足

P(X=x_i)=\frac1n,\qquad i=1,\ldots,n

时，称 $X$ 在有限集合 $S=\{x_1,\ldots,x_n\}$ 上服从均匀分布。

因此，包含其中 $k$ 个结果的事件，其概率为 $k/n$ 。这些结果不一定是数值：均匀分布可以描述随机选取一张牌、一个姓名或其他带有标识的对象。公平的六面骰子就是一个数值型例子，每一面出现的概率均为 $1/6$ 。(randomservices.org)

对于连续的整数 $a,a+1,\ldots,b$ ，令 $n=b-a+1$ ，则期望值和方差分别为

E[X]=\frac{a+b}{2}, \qquad \operatorname{Var}(X)=\frac{n^2-1}{12}.

对于任意数值集合，期望值是这些数值的算术平均值，方差则是各数值与该平均值之差的平方的平均值。各结果的概率相等，并不要求它们在数值上等间距排列。(randomservices.org)

连续均匀分布

对于有限的实数 $a<b$ ，记号 $X\sim U(a,b)$ 表示 $X$ 在从 $a$ 到 $b$ 的区间上服从连续均匀分布。其概率密度函数为

f_X(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{b-a},&a\le x\le b,\\ 0,&\text{其他情形}. \end{cases}

该密度函数在整个定义域上的积分为 1。对于 $a\le c\le d\le b$ ，有

P(c\le X\le d)=\int_c^d f_X(x)\,dx =\frac{d-c}{b-a}.

因此，概率取决于区间的长度，而非其位置。例如，在 2 到 10 之间均匀取值的随机变量，落在 3 到 5 之间的概率为 $2/8=1/4$ 。(ocw.mit.edu)

与离散情形不同，取任意单个点的概率都为零，即 $P(X=x)=0$ 。因此，均匀性意味着密度相等，而不是每个实数都具有相同的正概率。区间是否包含任一端点，都不会改变其概率分布；改变密度函数在有限个点上的值，也不会影响其积分。(live.ocw.mit.edu)

其累积分布函数为

F_X(x)= \begin{cases} 0,&x<a,\\ \dfrac{x-a}{b-a},&a\le x\le b,\\ 1,&x>b. \end{cases}

当 $0<p<1$ 时，其分位数函数为 $Q(p)=a+p(b-a)$ ，因此等间隔的概率水平对应等间距的分位数。特例 $U(0,1)$ 称为标准均匀分布。(randomservices.org)

矩与变换

连续均匀分布关于区间中点对称，该中点既是均值，也是中位数。其主要矩为

E[X]=\frac{a+b}{2}, \qquad \operatorname{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}.

因此，其标准差为 $(b-a)/\sqrt{12}$ 。增大区间宽度会增大离散程度，而将两个端点平移相同的距离，只会改变分布的位置，不会改变方差。(itl.nist.gov)

若 $U\sim U(0,1)$ ，则 $a+(b-a)U\sim U(a,b)$ 。反之，当 $X\sim U(a,b)$ 时， $(X-a)/(b-a)$ 服从标准均匀分布。这些仿射映射保持均匀性。非线性变换通常不具备这一性质：若 $Y=U^2$ ，直接计算可得，在 $0\le y\le1$ 时， $P(Y\le y)=\sqrt y$ ，而不是均匀随机变量所具有的线性累积分布函数。(randomservices.org)

模拟与概率变换

均匀随机值是生成其他分布样本的基本输入。在逆变换采样中，利用目标分布的广义分位数函数对标准均匀随机变量 $U$ 进行变换：

X=F^{-1}(U), \qquad F^{-1}(u)=\inf\{x:F(x)\ge u\}.

所得随机变量 $X$ 的累积分布函数为 $F$ 。这一广义逆函数既适用于离散分布，也适用于连续分布。(ocw.mit.edu)

概率积分变换则沿相反方向进行：若 $X$ 的累积分布函数 $F$ 连续，则 $F(X)$ 服从标准均匀分布。当 $F$ 可逆时，可由下式得出这一结论： $P(F(X)\le u)=F(F^{-1}(u))=u$ 。连续性条件至关重要；将离散随机变量代入其累积分布函数，通常不会得到连续均匀随机变量。(ocw.mit.edu)

推广与参考测度

在测度论中，均匀性是相对于参考测度 $\mu$ 定义的。对于满足 $0<\mu(S)<\infty$ 的可测集 $S$ ，有

P(X\in A)=\frac{\mu(A\cap S)}{\mu(S)}.

计数测度给出离散均匀分布，而勒贝格测度给出区间以及欧几里得空间中区域上的均匀分布。在后一种情形下，体积相等的区域具有相同的概率。以随机变量落在某个测度为正的可测子集内为条件，所得条件分布就是该子集上的均匀分布。(randomservices.org)

测度有限这一条件排除了在整条实数轴上具有恒定密度的概率分布。同样，可数无限集合上也不存在均匀概率分布：若每个点都具有相同的正概率，总和将为无穷大；若每个点的概率都为零，总和则为零。因此，均匀性是指定定义域和参考测度下的一种性质，而不是随机性的无条件同义词。(randomservices.org)

统计估计

对于来自 $U(a,b)$ 且具有统计独立性的观测值，若两个端点均未知，且至少有两个不同的观测值，则最大似然估计给出

\hat a=\min_i X_i,\qquad \hat b=\max_i X_i.

当区间包含所有观测值时，似然函数与 $(b-a)^{-n}$ 成正比；否则为零。包含全部样本的最窄区间使似然函数达到最大值。(itl.nist.gov)

这些端点估计存在向区间内部偏移的偏差。对于容量为 $n$ 的样本，有

E[\hat a]=a+\frac{b-a}{n+1}, \qquad E[\hat b]=b-\frac{b-a}{n+1}.

这些公式可由标准均匀样本最小值和最大值的期望经尺度变换得出。随着样本量增加，每个估计值与其对应端点之间的期望距离都会减小。(itl.nist.gov)