贝塔分布

贝塔分布是一族连续概率分布，用于描述取值介于零和一之间的随机变量。它有两个正的形状参数，通常记为 (\alpha) 和 (\beta)，写作 (X\sim\operatorname{Beta}(\alpha,\beta))。由于取值范围有界且形态多样，贝塔分布适合表示比例以及具有不确定性的概率。尤其是，对于只有两种可能结果的试验，它为成功概率的不确定性提供了便于解析处理的模型。(docs.scipy.org)

定义与分布函数

当 (\alpha>0) 且 (\beta>0) 时，概率密度函数为

[ f(x;\alpha,\beta) =\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}, \qquad 0<x<1, ]

在单位区间以外则为零。归一化常数为贝塔函数，由下列积分定义：

[ B(\alpha,\beta) =\int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1},dt =\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} {\Gamma(\alpha+\beta)}, ]

其中，(\Gamma) 表示伽马函数。因此，对于任意一对正参数，密度函数的积分都等于一。(itl.nist.gov)

累积分布函数为

[ F(x)=I_x(\alpha,\beta) =\frac{1}{B(\alpha,\beta)} \int_0^x t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1},dt, \qquad 0\le x\le1. ]

这里，(I_x) 是正则化不完全贝塔函数。一般情况下，分位数没有简单的闭式表达式，需要通过数值方法求得。虽然密度可能在某个端点附近趋于无穷大，但该分布仍然是连续的：零和一这两个点的概率质量均为零。(itl.nist.gov)

分布形态与参数解释

参数决定了概率在区间内的分布方式：

当 (\alpha=\beta=1) 时，该分布就是 ([0,1]) 上的均匀分布。
当 (\alpha,\beta>1) 时，密度在区间内部有唯一的峰。
当 (0<\alpha,\beta<1) 时，密度呈 U 形，并在趋近两端点时趋于无穷大。
当 (\alpha\le1) 且 (\beta\ge1) 时，除均匀分布的情形外，密度在整个区间上递减；将这两个不等式的方向反转，则得到递增的密度。

当两个参数相等时，分布关于 (1/2) 对称。交换参数相当于将密度曲线左右翻转：若 (X\sim\operatorname{Beta}(\alpha,\beta))，则 (1-X\sim\operatorname{Beta}(\beta,\alpha))。(randomservices.org)

一种实用的替代参数化方式将均值与集中程度分开表示：

[ \mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}, \qquad \kappa=\alpha+\beta, ]

于是 (\alpha=\mu\kappa)，(\beta=(1-\mu)\kappa)。固定 (\mu) 时，增大 (\kappa) 会降低离散程度，而不改变均值。这可以直接由下文的方差公式得出，有助于区分分布的中心位置与集中程度。(itl.nist.gov)

矩与尺度变换

期望值和方差分别为

[ \mathbb E[X]=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}, \qquad \operatorname{Var}(X) =\frac{\alpha\beta} {(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} =\frac{\mu(1-\mu)}{\kappa+1}. ]

当两个形状参数都大于一时，众数为

[ \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}. ]

这些公式描述的是单位区间上的标准贝塔分布。(itl.nist.gov)

通过令 (Y=a+(b-a)X)，可以将贝塔随机变量变换到任意有限区间 ([a,b]) 上，其中 (a<b)。其密度变为

[ f_Y(y)=\frac{1}{b-a} f!\left(\frac{y-a}{b-a};\alpha,\beta\right). ]

因此，其均值为 (a+(b-a)\mathbb E[X])，方差为 ((b-a)^2\operatorname{Var}(X))。区间端点额外规定了位置和尺度，并不能替代两个形状参数。(docs.scipy.org)

贝叶斯推断

在贝叶斯推断中，贝塔先验分布是伯努利分布模型或二项分布模型中成功概率 (p) 的共轭先验。假设在给定 (p) 的条件下，(n) 次试验相互独立，并观测到 (s) 次成功。似然函数与 (p^s(1-p)^{n-s}) 成正比。根据贝叶斯定理，将似然函数与贝塔先验相乘，可得到后验分布

[ p\mid s,n \sim\operatorname{Beta}(\alpha+s,\beta+n-s). ]

因此，每次成功使第一个参数增加一，每次失败使第二个参数增加一。(mas.ncl.ac.uk)

后验均值为

[ \mathbb E[p\mid s,n] =\frac{\alpha+s}{\alpha+\beta+n}. ]

当 (n>0) 时，它可以写成先验均值与观测成功比例的加权平均：

[ \frac{\alpha+\beta}{\alpha+\beta+n} \frac{\alpha}{\alpha+\beta} + \frac{n}{\alpha+\beta+n}\frac{s}{n}. ]

这一代数关系说明了为什么可以将 (\alpha+\beta) 解释为先验集中度或有效权重参数。形状参数不必是整数，也不必对应实际的历史观测次数。例如，(\operatorname{Beta}(2,2)) 先验在观测到八次成功和两次失败后，会更新为 (\operatorname{Beta}(10,4))，后验均值为 (5/7)。(mas.ncl.ac.uk)

定义与分布函数

分布形态与参数解释

矩与尺度变换

贝叶斯推断

相关分布与参数估计