仿射映射 · aiwiki.page

仿射映射是保持点的仿射组合的仿射空间之间的函数。在坐标表示下，它具有形式 $f(x)=Ax+b$ ，其中 $A$ 表示一个线性映射， $b$ 是固定的平移向量。与线性映射不同，仿射映射不一定将原点映到原点。它可以连接不同维数的空间，也不一定可逆；常值映射和投影都属于仿射映射。仿射映射将线性代数的坐标方法与不依赖特定原点的几何结构联系起来。(cis.upenn.edu)

定义与坐标表示

设 $E$ 和 $F$ 是同一域（数学） $K$ 上的仿射空间，其对应的方向向量空间分别为 $V$ 和 $W$ 。如果存在一个 $K$ -线性映射 $L:V\to W$ ，使得对每个点 $p\in E$ 和每个向量 $v\in V$ ，都有

f(p+v)=f(p)+L(v),

那么映射 $f:E\to F$ 就是仿射映射。这个唯一确定的映射 $L$ 称为它的线性部分。因此，只要知道一个点的像和线性部分，就能确定整个映射。(cis.upenn.edu)

等价地，对任意有限个点 $p_i$ 及满足 $\sum_i\lambda_i=1$ 的标量 $\lambda_i$ ，都有

f\!\left(\sum_i\lambda_i p_i\right) =\sum_i\lambda_i f(p_i).

这一系数条件使组合不依赖原点的选择。与一般的线性组合不同，点的仿射组合具有内在意义。(cis.upenn.edu)

选定原点以及各方向空间的一组基（线性代数）后，有限维仿射映射可表示为

f:K^n\to K^m,\qquad f(x)=Ax+b,

其中 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵， $b\in K^m$ 。在这组坐标下， $b=f(0)$ ，因此映射为线性映射当且仅当 $b=0$ 。改变原点可能会改变 $b$ ，但不会改变仿射映射本身。(cis.upenn.edu)

几何性质与示例

对于实仿射空间中的点，有

f((1-t)p+tq)=(1-t)f(p)+tf(q),\qquad t\in\mathbb R.

因此，一条直线的像要么是一条直线，要么是一个点。仿射映射保持中点和直线上的分点参数；只要直线没有被压缩成一个点，有向线段的比值就仍有意义。可逆仿射映射保持平行关系，但通常不保持长度、角度或垂直关系。(cs.cornell.edu)

仿射映射的例子包括平移、旋转、反射、缩放、错切及其复合。在二维空间中，映射

f(x,y)=(x+sy+a,\ y+b)

将错切与平移结合起来。一个奇异映射的例子是 $f(x,y)=(x,0)$ ，它将竖直直线压缩成点。常值映射 $f(x)=b$ 的线性部分为零。这些例子都可以直接由坐标形式 $Ax+b$ 得到。(cs.yale.edu)

仿射映射不一定是等距映射。在实欧几里得空间中，定义域与陪域维数相同的仿射映射保持距离，当且仅当其线性部分由正交矩阵表示。平移不影响距离，因为

f(x)-f(y)=A(x-y).

因此，度量性质取决于 $A$ ，而非 $b$ 。(cs.yale.edu)

秩、像与可逆性

对于 $f:K^n\to K^m$ ，其像为

f(K^n)=b+\operatorname{im}A,

即一个线性子空间的平移，其维数等于 $A$ 的秩。若 $f(x_0)=y$ ，则 $y$ 上的整个纤维为

f^{-1}(\{y\})=x_0+\ker A.

因此，核（线性映射）描述了映射会丢失哪些输入位移。根据秩—零化度定理，每个非空纤维的维数都是 $n-\operatorname{rank}A$ 。这些结论都直接来自方程 $Ax+b=y$ 。(cis.upenn.edu)

该映射是单射函数，当且仅当 $A$ 的秩为 $n$ ；它是满射函数，当且仅当 $A$ 的秩为 $m$ 。当 $m=n$ 时，它可逆当且仅当 $\det A\ne0$ ，其反函数为

f^{-1}(y)=A^{-1}(y-b).

这里， $A^{-1}$ 是逆矩阵。其反函数仍然是仿射映射。(cs.yale.edu)

复合与齐次坐标

仿射映射对函数复合封闭。若 $f(x)=Ax+b$ ， $g(y)=Cy+d$ ，代入可得

(g\circ f)(x)=CAx+Cb+d.

特别地，连续的平移和线性运算可以合并为一个仿射映射。复合的结果通常与运算顺序有关。一个仿射空间上的可逆自映射在复合运算下构成一个群，称为仿射群。(cis.upenn.edu)

利用齐次坐标，同一个映射可以写成

\begin{pmatrix}f(x)\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}A&b\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}.

这种表示增加一个维度，用一次矩阵乘法同时表示平移和线性部分。于是，映射的复合可通过矩阵乘积实现。位移向量的最后一个坐标取零，因此平移列不会影响它们。(cis.upenn.edu)

凸性与计算应用

在实数域上，仿射映射保持凸组合。因此，凸集的像是凸集，凸集的原像也是凸集，即使映射是奇异的也不例外。标量值仿射函数既是凸函数，也是凹函数。将凸函数与仿射映射复合，所得函数在相应定义域上仍保持凸性，这是凸优化中的一种重要运算。(stanford.edu)

仿射映射也用于人工神经网络中的输入加权再加偏置运算。例如，PyTorch 的 Linear 层在文档中被定义为仿射变换。如果一系列仿射层之间没有非线性运算，它们整体上仍是一个仿射映射；非线性的激活函数则使网络通常无法这样合并。在图像处理中，仿射变换用于实现旋转、平移、缩放和错切的组合，而对变换后的图像进行采样时，插值另行处理。(docs.pytorch.org)