仿射组合 · aiwiki.page

仿射组合是有限个点或向量的线性组合，其中标量系数之和为一。与凸组合不同，仿射组合允许系数为负。仿射组合可用于描述直线、平面及更高维仿射子空间中的点，并为重心坐标提供代数基础。(stanford.edu)

定义

对于域（数学） $K$ 上的向量空间中的点 $p_1,\ldots,p_m$ ，仿射组合具有如下形式：

p=\sum_{i=1}^{m}\lambda_i p_i, \qquad \sum_{i=1}^{m}\lambda_i=1, \qquad \lambda_i\in K.

在几何应用中，所用的域通常是实数域。定义中的限制仅涉及系数之和：单个系数可以为负、为零，也可以大于一。(stanford.edu)

同样的运算在抽象的仿射空间中也有意义；在这种空间中，点没有指定的零点，通常也不能直接相加或与标量相乘。设 $V$ 是与该仿射空间相伴的向量空间， $o$ 是任意参考点，定义

p=o+\sum_{i=1}^{m}\lambda_i(p_i-o).

这里，每个差 $p_i-o$ 都是一个向量，将求和所得的向量加到 $o$ 上便得到一个点。这就是记号 $\sum_i\lambda_i p_i$ 的内在含义。(cis.upenn.edu)

系数之和为一这一条件使上述构造不依赖于参考点。要直接验证这一点，可将 $o$ 换成 $o'=o+v$ 。所得的点为

\begin{aligned} o'+\sum_i\lambda_i(p_i-o') &=o+v+\sum_i\lambda_i\bigl((p_i-o)-v\bigr)\\ &=o+\sum_i\lambda_i(p_i-o) +\left(1-\sum_i\lambda_i\right)v. \end{aligned}

当 $\sum_i\lambda_i=1$ 时，最后一项为零。因此，仿射组合只取决于给定的点及其系数，而不取决于任意选取的原点。这一计算说明了为什么仿射几何要将点的组合与不受限制的向量组合区分开来。(cis.upenn.edu)

与此相对应的另一个恒等式是

\sum_i\mu_i p_i =\sum_i\mu_i(p_i-o) \quad\text{当}\quad \sum_i\mu_i=0,

其中右侧是一个向量。因此，系数之和为一的组合描述一个点，而系数之和为零的组合描述一个位移向量，两者都无需指定原点。(cis.upenn.edu)

对于两个不同的点 $a$ 和 $b$ ，任意仿射组合都可以写成

p(t)=(1-t)a+tb=a+t(b-a).

在实数域上，当 $t$ 遍历整个 $\mathbb R$ 时， $p(t)$ 描绘出经过这两点的整条直线。当 $0\leq t\leq1$ 时，该点位于两点之间的线段上；当 $t<0$ 或 $t>1$ 时，则得到超出某一端点的外推点。(stanford.edu)

例如，若 $a=(0,0)$ 、 $b=(2,0)$ ，则

\tfrac12a+\tfrac12b=(1,0), \qquad -a+2b=(4,0).

这两个表达式都是仿射组合，但只有第一个是凸组合。

三个不共线点的所有仿射组合构成它们所在的整个平面。如果进一步要求系数非负，得到的则是包含边界及内部的三角形。同样，四个不共面的点生成一个三维仿射空间，而它们的凸组合构成一个四面体。(cis.upenn.edu)

非空集合 $S$ 的**仿射包**记作 $\operatorname{aff}(S)$ ，是由 $S$ 中的点的一切有限仿射组合构成的集合。它是包含 $S$ 的最小仿射集。在实向量空间中，仿射集恰好就是对所有这类组合封闭的集合。(stanford.edu)

对于有限个点，消去第一个系数可得

\operatorname{aff}\{p_0,\ldots,p_k\} = p_0+\operatorname{span}\{p_1-p_0,\ldots,p_k-p_0\}.

这一公式建立了仿射包与线性包之间的联系：仿射包是一个线性子空间经平移得到的集合。(cis.upenn.edu)

如果差向量

p_1-p_0,\ldots,p_k-p_0

线性无关，就称点 $p_0,\ldots,p_k$ 仿射无关。此时，其仿射包中的每个点都有唯一的仿射组合表示。表示中的系数称为该点相对于给定各点的**重心坐标**。如果这些点仿射相关，则表示未必唯一。(home.zcu.cz)

例如，非退化三角形所在平面中的任意一点都有三个重心坐标，且它们的和为一。当且仅当这三个坐标都非负时，该点属于这个三角形。(cis.upenn.edu)

仿射映射保持仿射组合。在向量空间坐标下，可将其写成

F(x)=Lx+b,

其中 $L$ 是线性映射， $b$ 是固定向量。保持仿射组合的恒等式可直接推出：

\begin{aligned} F\left(\sum_i\lambda_i p_i\right) &=L\left(\sum_i\lambda_i p_i\right)+b\\ &=\sum_i\lambda_i(Lp_i+b) =\sum_i\lambda_iF(p_i), \end{aligned}

这是因为 $\sum_i\lambda_i=1$ 。因此，先构造仿射组合再施加仿射变换，与先变换给定的各点再构造仿射组合，得到的结果相同。(cis.upenn.edu)

对于给定的点 $p_1,\ldots,p_m\in\mathbb R^n$ 和目标点 $x$ ，定义中的等式可合并为一个线性方程组：

\begin{pmatrix} | & & |\\ p_1 & \cdots & p_m\\ | & & |\\ 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1\\ \vdots\\ \lambda_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ 1 \end{pmatrix}.

这只是将坐标方程 $x=\sum_i\lambda_i p_i$ 与系数之和为一的约束合并起来。当且仅当 $x$ 位于这些点的仿射包中时，方程组有解；当且仅当给定的各点仿射无关时，解唯一。最后一行还将仿射组合与用齐次坐标表示点的方法联系起来。(cis.upenn.edu)

每个凸组合都是仿射组合，但反之不成立。两者的区别对应于所生成的两种不同集合：

凸包包含于仿射包中，并且是一个凸集。要表示凸包之外的点，负系数必不可少；不过，当给定的各点仿射相关时，仅仅出现负系数并不能保证所得的点位于凸包之外。这一补充说明源于仿射表示可能不唯一。(stanford.edu)

因此，系数之和为一是保证结果不依赖于原点的条件，而不是保证正性或有界性的条件。