一组向量的线性张成是由这些向量的所有有限线性组合构成的集合。等价地，它是包含给定向量集的最小线性子空间。线性张成是线性代数中的一项基本构造，描述了一组向量通过加法和标量乘法所能生成的全部向量，无论这些向量是坐标元组、函数还是矩阵。常用记号包括 (\operatorname{span}(S)) 和 (\operatorname{span}{v_1,\ldots,v_k})。(math.brown.edu)
定义与标量域
设 (V) 是域（数学） (F) 上的向量空间，且 (S\subseteq V)。(S) 的线性张成定义为
[ \operatorname{span}F(S)= \left{ \sum{j=1}^{k}a_js_j: k\geq 0,\ a_j\in F,\ s_j\in S \right}. ]
当 (k=0) 时，约定该和为零向量。因此，(\operatorname{span}(\varnothing)={0})。即使生成集是无限集，其张成空间中的每个向量仍然只由有限多个生成向量组合而成。无限级数需要额外的结构，不属于这一代数定义的范畴。(cfm.brown.edu)
标量域的选择很重要。例如，将复数视为复数域上的向量空间时，(\operatorname{span}{\mathbb C}{1}=\mathbb C)。但在实数域上，(\operatorname{span}{\mathbb R}{1}=\mathbb R)，而 ({1,i}) 则张成整个 (\mathbb C)。指定允许使用的系数后，这些结论可由定义直接得出。(cfm.brown.edu)
最小子空间刻画
线性张成也可以通过交集来定义：
[ \operatorname{span}(S)= \bigcap_{\substack{W\leq V\S\subseteq W}}W, ]
其中，(W\leq V) 表示 (W) 是 (V) 的线性子空间。参与求交的子空间族非空，因为 (V) 本身就包含 (S)。(cfm.brown.edu)
这两种定义之所以等价，是因为有限线性组合的集合包含零向量，并且对加法和标量乘法封闭：进行这些运算后，所得向量仍是有限线性组合。因此，该集合是一个包含 (S) 的子空间。反过来，任何包含 (S) 的子空间，由其封闭性，都必须包含所有这样的线性组合。(cfm.brown.edu)
由此可得若干结论：(S\subseteq\operatorname{span}(S))；若 (S\subseteq T)，则 (\operatorname{span}(S)\subseteq\operatorname{span}(T))；对已经张成的子空间再次取线性张成，结果不变。加入一个已经属于张成空间的向量，不会扩大该空间。对于子空间 (U,W)，它们的并集所张成的空间就是它们的和 (U+W={u+w:u\in U,w\in W})，但并集本身未必是子空间。(cfm.brown.edu)
几何与函数示例
在实坐标空间中，线性张成有直观的几何学解释。一个非零向量张成一条经过原点的直线。两个互不为标量倍数的向量张成一个经过原点的平面。(\mathbb R^3) 中三个线性无关的向量张成整个空间。线性相关的生成向量可能仍然描述同一条直线或同一个平面，而不会增加新的方向。(math.mit.edu)
例如，
[ \operatorname{span}{(1,0,0),(0,1,0)} ={(a,b,0):a,b\in\mathbb R}. ]
这就是坐标平面 (z=0)。加入 ((1,1,0)) 后，张成空间不变，因为它是原来两个生成向量的和。(cfm.brown.edu)
向量不一定是箭头。多项式 (1,x,\ldots,x^n) 张成次数不超过 (n) 的多项式空间。无限集 ({1,x,x^2,\ldots}) 张成所有多项式构成的空间，而不是任意无限幂级数构成的空间：每个多项式都只有有限个非零系数。(cfm.brown.edu)
生成集、基与维数
当 (\operatorname{span}(S)=V) 时，称集合 (S) 为 (V) 的一个生成集。张成与线性无关是两个不同的条件：张成关心的是每个目标向量能否表示出来；线性无关关心的是生成向量之间是否存在非平凡的线性关系。基（线性代数）同时满足这两个条件，使每个向量都有唯一的有限线性组合表示。(math.mit.edu)
从有限生成集中删去冗余向量，即可得到一组基。其张成空间的维数（向量空间）不超过生成向量的个数，且当且仅当这些向量线性无关时取等号。因此，一个 (n) 维空间至少需要 (n) 个向量才能张成，而任何恰好含有 (n) 个向量的生成集都是一组基。不同的基可以张成同一个子空间。(math.mit.edu)
矩阵与计算
将向量 (v_1,\ldots,v_k\in F^m) 作为列，组成矩阵 (A)。则
[ Ax=x_1v_1+\cdots+x_kv_k, \qquad \operatorname{span}{v_1,\ldots,v_k} ={Ax:x\in F^k}. ]
它们的张成空间就是 (A) 的列空间，也就是线性映射 (x\mapsto Ax) 的像。向量 (b) 属于这一张成空间，当且仅当线性方程组 (Ax=b) 有解。(math.mit.edu)
高斯消元法可以判断方程组是否有解，并确定主元列。原矩阵中与这些主元列对应的列构成其列空间的一组基；这些列的个数就是矩阵的秩。行变换通常会改变列空间，因此基向量必须取自原矩阵，而不是行化简后的矩阵。(math.brown.edu)
对于实矩阵，普通最小二乘法用于寻找所有可表示为 (Ax) 的向量中最接近目标 (b) 的向量。这个拟合向量就是 (b) 在列空间上的正交投影。即使列向量线性相关，导致系数向量不唯一，投影向量仍然是唯一的。(live.ocw.mit.edu)
相关的包构造
线性张成对标量系数不加限制。与仿射空间相关的仿射包则要求系数之和等于一。生成凸集的凸包还进一步要求系数为非负实数。因此，在实向量空间中，
[ \operatorname{conv}(S)\subseteq \operatorname{aff}(S)\subseteq \operatorname{span}(S). ]
与仿射包不同，线性张成必定包含原点。因此，这些构造即使使用同一组生成向量，也可能得到不同的集合。(see.stanford.edu)