凸集

凸集是实向量空间的一个子集，它包含连接其中任意两点的每一条线段。这一概念也适用于实仿射空间，其中点的位置不必以某个特定原点为基准来表示。凸集将几何学与数学优化联系起来：它的定义性质保证了两个允许的点之间的插值仍然是允许的。这个定义是代数性的，本身不需要距离、角度或拓扑的概念。(stanford.edu)

定义与凸组合

如果对于任意 $x,y\in C$ 以及满足 $0\leq t\leq1$ 的任意实数 $t$，都有

那么集合 $C$ 就是凸集。

随着 $t$ 的变化，这个表达式描出从 $x$ 到 $y$ 的线段，包括两个端点。空集是凸集，因为其中不存在任何一对点会使该条件不成立；每个单点集也都是凸集。凸性并不要求集合有界、是开集或是闭集。(stanford.edu)

等价地，凸集包含其内部各点的每一个有限凸组合：

反复应用两点形式的定义即可得到这一等价关系，也可以用数学归纳法作严格证明。凸组合是系数非负且系数之和为一的线性组合。仿射组合的系数之和也为一，但允许负系数，因此所得的点可能位于凸集之外。(ocw.mit.edu)

例子与反例

在实数直线上，凸集恰好就是各类区间，包括无界区间、单点集和空集。在欧几里得空间中，凸集的例子包括含内部的三角形、矩形、球和椭球。每个线性子空间都是凸集，每个仿射子空间也都是凸集。若圆仅指圆周，它就不是凸集：连接圆周上两个不同点的线段通常会经过不在圆周上的点。而包含内部的圆盘则是凸集。(stanford.edu)

超平面具有如下形式：

它是凸集；将等式分别替换为两种方向的非严格不等式所确定的两个半空间也都是凸集。凸多面体是有限个闭半空间的交集，也可以同时带有仿射等式约束。这样的集合可能无界，也可能维数较低；凸性并不意味着它在所在空间中具有非空内部。(web.stanford.edu)

保持凸性的运算

任意多个凸集的交集仍是凸集。如果两点属于一族集合中的每一个集合，那么连接这两点的线段也属于每一个集合，因而属于它们的交集。并集通常不保持凸性：两个彼此分离的圆盘就是一个反例。(stanford.edu)

仿射映射可写为 $T(x)=Ax+b$，其中 $A$ 是适当的矩阵；凸集在仿射映射下的像和原像都保持凸性。凸集的笛卡尔积也是凸集。闵可夫斯基和同样保持凸性：

这些规则使我们能够由简单的凸区域构造复杂的凸区域，也说明了将凸集投影到某个坐标空间以消去部分坐标的合理性。它们保证凸性，但并不自动保证所得的像或和是闭集。(stanford.edu)

凸包与维数

集合 $S$ 的凸包记为 $\operatorname{conv}(S)$，是包含 $S$ 的最小凸集。它既是所有包含 $S$ 的凸集的交集，也是由 $S$ 中元素的所有有限凸组合组成的集合。对于平面上三个不共线的点，凸包就是以这三个点为顶点、包含内部的三角形。(ocw.mit.edu)

卡拉泰奥多里定理指出，$\mathbb R^n$ 的任一子集的凸包中的每个点，都可以表示为该子集中至多 $n+1$ 个点的凸组合。如果该子集位于维数（向量空间）为 $d$ 的仿射子空间中，这一上界可改进为 $d+1$。因此，所需点的数量取决于仿射维数，而不是原集合的大小。(ocw.mit.edu)

拓扑性质与分离

在有限维欧几里得空间中，凸集的闭包和内部都是凸集。不过，$\mathbb R^2$ 中一条非空线段的通常意义下的内部是空的。它的相对内部是相对于其仿射包而言的内部；对于一条非退化闭线段，相对内部就是去掉两个端点后的线段。有限维空间中的每个非空凸集都有非空的相对内部。(ocw.mit.edu)

超平面分离定理指出，对于 $\mathbb R^n$ 中两个非空且不相交的凸集，存在一个超平面，使它们分别位于该超平面两侧的闭半空间中。严格分离需要额外的条件。例如，非空闭凸集之外的一个点可以与该集合严格分离。类似地，支撑超平面通过边界处的线性不等式来描述凸集。(web.stanford.edu)

与函数及优化的关系

一个函数是凸函数，当且仅当它的上图集是凸集；上图集由位于函数图像上或其上方的点组成。凸函数的下水平集 $\{x:f(x)\leq\alpha\}$ 都是凸集。因此，凸不等式约束和仿射等式约束所定义的可行集是凸集。(ocw.mit.edu)

在凸优化中，要在这样的集合上最小化一个凸目标函数。此时，每个局部最小值都是全局最小值，但最小值点未必存在，也未必唯一。如果目标函数严格凸，则至多存在一个最小值点。这一结构是机器学习、统计模型拟合、资源分配和工程设计等应用的基础。(web.stanford.edu)