几何学是数学的一个分支，研究图形的形状、大小、相互位置关系以及空间的性质。英语中的“geometry”一词源自希腊语 geō（“土地”）和 metron（“测量”），反映出它最初用于土地丈量和建筑营造。几何学是最古老的数学学科之一。它起初是一套测量田地、体积和角度的实用法则，到了古希腊发展为一门演绎科学。如今它已是一个庞大的学科群，涵盖欧几里得几何、非欧几里得几何、解析几何、射影几何、微分几何以及拓扑学等领域。几何思想在物理学、工程、建筑、地图绘制和计算机科学中都占有核心地位。
起源
有记载的最早几何学是实用性的。在古埃及，书吏要计算田地的面积以及粮仓和金字塔的体积。约成书于公元前16世纪的《莱因德数学纸草书》载有一种近似计算圆面积的方法。在美索不达米亚，巴比伦书吏比毕达哥拉斯早一千多年就已掌握今天所说的勾股定理，并在泥板上记录了满足这一关系的数组。在中国，至迟在汉朝编定的《九章算术》讨论了面积、体积和直角三角形问题。3世纪的注释家刘徽后来用圆内接多边形的方法改进了圆周率的估值。
希腊几何与欧几里得
在古希腊，几何学成为一门结论必须靠论证来确立的学科。按照传统说法，泰勒斯和毕达哥拉斯学派最早用数学证明来论证几何命题。约公元前300年，欧几里得写成《几何原本》。全书共十三卷，从少量定义、公理和五条公设出发，推导出关于平面图形、立体图形、比例和数的数百条命题。两千多年来，《几何原本》一直是演绎推理的标准范本，常被誉为史上影响最大的教科书之一。
欧几里得的第五公设，即平行公设，明显不同于前四条。按后来经普莱费尔推广的表述，它是说：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。欧几里得尽可能避免使用这条公设，《几何原本》的前28个命题都没有用到它。后来的希腊数学家进一步拓展了几何学。阿基米德计算了由曲线围成的面积和体积，并给出了圆周率的上下界。佩尔加的阿波罗尼奥斯写了一部系统论述圆锥曲线（即椭圆、抛物线和双曲线）的专著。
中世纪与近代早期的发展
阿拔斯王朝及其后继诸国的学者翻译、保存并发展了希腊几何学，还为天文学的需要发展了三角学。伊本·海赛姆、欧玛尔·海亚姆和纳西尔丁·图西都曾尝试证明平行公设，在此过程中研究了一些四边形，而这些四边形的性质后来被证明属于非欧几何。文艺复兴时期，画家和建筑师建立了线性透视的数学原理。17世纪，吉拉尔·德萨格在此基础上开创了射影几何的雏形。
1637年，勒内·笛卡尔出版《几何学》。这部著作与皮埃尔·德·费马的独立研究一起奠定了解析几何的基础：用坐标表示点，用方程表示曲线。几何由此与代数结合起来，也为艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨创立微积分铺平了道路。微积分反过来又为研究切线、曲率和弧长提供了新方法。
非欧几里得几何
18世纪，乔瓦尼·萨凯里和约翰·兰伯特试图用反证法证明平行公设，却在不知不觉中推出了另一种几何的许多定理。19世纪初，卡尔·弗里德里希·高斯、亚诺什·鲍耶和尼古拉·罗巴切夫斯基各自得出结论：用另一条公设取代平行公设，同样可以建立一套自洽的几何。在这种今称双曲几何的体系中，过一点可以作不止一条平行线，三角形内角和小于180°。1854年，伯恩哈德·黎曼发表演讲，把几何推广到任意维数的弯曲空间（他称之为流形），并提出了一种根本不存在平行线的几何。1868年，欧金尼奥·贝尔特拉米构造出一个模型，其中欧几里得的前四条公设成立而第五条不成立，从而了结了这个古老的问题：平行公设无法由其他四条公设推出。这些成果统称为非欧几里得几何。它们还引出了一个哲学问题：物理空间的几何能否先验地认识？这一问题对认识论和科学哲学都影响深远。
统一与基础
到19世纪70年代，几何学已经种类繁多，数学家开始寻找把它们联系起来的途径。1872年，费利克斯·克莱因提出埃尔朗根纲领，主张用一个变换群以及在这些变换下保持不变的性质来定义每一种几何。按照这种观点，欧几里得几何、双曲几何和椭圆几何都可以纳入射影几何的框架。1899年，戴维·希尔伯特出版《几何基础》，为欧几里得几何建立了一套完备而严格的公理体系。这部著作塑造了现代数学和逻辑学中的公理化方法。
主要分支
应用
几何学的应用遍及科学技术的各个领域。测量、导航和天文学都依赖三角学和球面几何。光学用几何方法描述光线。在阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论中，引力被描述为四维时空的弯曲，所用的数学工具正是黎曼几何。包括规范场论和弦理论在内的现代物理学离不开微分几何与拓扑学。在实际应用方面，几何学还用于工程设计、建筑、计算机辅助设计、计算机视觉、卫星定位和医学成像等领域。
参考来源
- Non-Euclidean geometry - MacTutor History of Mathematicsmathshistory.st-andrews.ac.uk
- Nineteenth Century Geometry (Stanford Encyclopedia of Philosophy/Fall 2016 Edition)plato.stanford.edu
- Felix Klein: A Legacy of Innovation in Mathematics and Educationdcn.nat.fau.eu
- non-euclidean - geometryfiles.eric.ed.gov
- Illustrations of non-Euclidean geometry in virtual realityarxiv.org
- History Of Non Euclidean Geometryslideshare.net