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数学 / pythagorean-theorem

勾股定理

勾股定理描述直角三角形三边长度的关系，是欧几里得距离、坐标几何与正交分解的基础。

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勾股定理是几何学中的一项基本结论：在直角三角形中，斜边长度的平方等于另外两边长度的平方之和。若两条相互垂直的边（即直角边）长度分别为 aa 和 bb，斜边长度为 cc，则有 a2+b2=c2a^2+b^2=c^2。从几何上看，以斜边为边长作出的正方形，其面积等于以两条直角边为边长作出的两个正方形的面积之和。(aleph0.clarku.edu)

定理的表述与逆定理

该定理讨论的是欧几里得几何中的三角形。斜边是直角所对的边，公式中的字母必须据此对应各边。求解方程，可得到未知边长：

c=a2+b2,a=c2−b2.c=\sqrt{a^2+b^2},\qquad a=\sqrt{c^2-b^2}.

由于边长为正数，这里取正平方根。例如，两条直角边的长度分别为 3 和 4 时，斜边长度为 5，因为 32+42=253^2+4^2=25。这一关系适用于任意正的边长，并不局限于整数。(personal.math.ubc.ca)

其逆命题也是一条定理：如果一个三角形的边长满足 a2+b2=c2a^2+b^2=c^2，那么边 cc 所对的角就是直角。因此，这一等式既描述了直角三角形的性质，也提供了判定直角三角形的方法。在欧几里得的《几何原本》中，勾股定理及其逆定理分别列为第一卷的命题 47 和命题 48。(mathcs.clarku.edu)

历史发展

该定理的英文名称是为了纪念古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯，但这一名称并不能证明他是最先发现这一关系的人。现存将该定理归于他的记载，均写于他生活年代的数百年之后，而他本人所作的证明也没有留存下来。因此，必须区分定理的惯用名称与有文献支持的起源证据。(aleph0.clarku.edu)

来自美索不达米亚的巴比伦数学文献表明，早在毕达哥拉斯之前，人们就已掌握与直角三角形有关的数值关系。年代约为公元前 1800 年的泥板普林顿 322记载了与勾股数有关的数字。这类证据表明，当时的人们已掌握相关的数值知识，但不应据此直接认定，一般形式定理的演绎证明也已留存下来。(personal.math.ubc.ca)

欧几里得留存至今的论述通过面积和此前已确立的几何命题来证明这一定理。他在第一卷中的证明不需要一般的线段比例理论；《几何原本》后面的卷中还给出了利用相似性进行证明的另一种方法。(aleph0.clarku.edu)

证明方法

勾股定理已有许多种数学证明。所用方法包括在保持面积不变的前提下重新拼排图形、比较等面积图形，以及利用三角形相似。这些方法通过不同的几何构造证明同一个关系。(personal.math.ubc.ca)

一种拼排证明将四个全等的直角三角形放在边长为 a+ba+b 的正方形内，每个三角形的直角边长为 a,ba,b，斜边长为 cc。四条斜边在中央围成一个边长为 cc 的正方形。比较外部正方形的面积与四个三角形及中央正方形的面积之和，得到：

(a+b)2=4(ab2)+c2.(a+b)^2=4\left(\frac{ab}{2}\right)+c^2.

展开左边并消去 2ab2ab，便得到 a2+b2=c2a^2+b^2=c^2。要使这一构造的证明完整，还须说明中央图形的四个角确实都是直角。(personal.math.ubc.ca)

相似性证明从直角顶点向斜边作高。若这条高将斜边分成长度为 pp 和 qq 的两段，分别与直角边 aa 和 bb 相邻，则由三角形相似可得：

a2=cp,b2=cq.a^2=cp,\qquad b^2=cq.

将这两个等式相加，再利用 p+q=cp+q=c，即可证明该定理。(aleph0.clarku.edu)

整数解与无理数边长

勾股数是满足该方程的三个正整数，例如 (3,4,5)(3,4,5) 和 (5,12,13)(5,12,13)。将其中每个数都乘以同一个正整数，便会得到另一组勾股数。如果三个数没有大于 1 的公因数，这组勾股数就称为本原勾股数。(personal.math.ubc.ca)

数论中一种标准的参数表示为：

a=m2−n2,b=2mn,c=m2+n2,a=m^2-n^2,\qquad b=2mn,\qquad c=m^2+n^2,

其中 m>n>0m>n>0，且 m,nm,n 均为整数。通过展开运算，可以验证这些表达式满足勾股方程。当 m,nm,n 互质且一奇一偶时，所得勾股数是本原勾股数；允许交换两条直角边的次序后，每一组本原勾股数都可以用这种方式得到。(personal.math.ubc.ca)

并非所有直角三角形的边长之比都是有理数。边长为 1 的正方形，其对角线长为 2\sqrt{2}，这是一个无理数。这个例子说明，精确的几何长度不一定能够表示为两个整数之比。(personal.math.ubc.ca)

距离与推广

在解析几何中，当坐标轴相互垂直时，可以用勾股定理求两点之间的欧几里得距离：

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2.d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.

通过反复应用该定理，将各坐标差的平方相加，即可把这一表达式推广到三维或更高维空间。(personal.math.ubc.ca)

对于任意欧几里得三角形，余弦定理给出：

c2=a2+b2−2abcos⁡C.c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.

当夹角 CC 为 90∘90^\circ 时，其余弦值为零，便得到勾股定理。这也将勾股定理与三角学联系起来。(personal.math.ubc.ca)

在实内积空间中，包括线性代数所研究的这类空间，正交向量满足：

∥u+v∥2=∥u∥2+∥v∥2.\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2.

展开内积并利用 ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0，即可得到这一恒等式。对于非正交向量，展开式中还包含 2⟨u,v⟩2\langle u,v\rangle 这一项；因此，一般情况下不能简单地将长度的平方相加。(personal.math.ubc.ca)