标准正交基是内积空间中的一组基（线性代数），其中各向量的长度均为一，且两两正交。在有限维线性代数中，每个向量都能唯一地表示为这些基向量的有限线性组合。在无限维希尔伯特空间中，完备性则意味着，有限线性组合可以在范数意义下任意逼近每个向量。标准正交基使坐标、投影和长度的计算变得尤为简单。(ocw.mit.edu)
定义与基本性质
设 (V) 是实数域或复数域上配备了内积的向量空间。若向量系 ({e_i}) 满足 [ \langle e_i,e_j\rangle= \begin{cases} 1,&i=j,\ 0,&i\ne j, \end{cases} ] 则称其为标准正交向量系。因此，每个向量的范数均为 (|e_i|=\sqrt{\langle e_i,e_i\rangle}=1)，且不同向量彼此正交。在有限维空间中，这个向量系是标准正交基，当且仅当其线性包等于 (V)。(ocw.mit.edu)
任何标准正交向量系都线性无关。事实上，若一个有限线性组合等于零，将其与参与组合的各个基向量分别取内积，就能得出所有系数都为零。因此，恰好包含 (\dim V) 个向量的标准正交向量系就是一组基。有限维内积空间中的任何标准正交向量系，都可以扩充为一组标准正交基。(ocw.mit.edu)
正交基只要求向量彼此正交，并不要求长度为一；将每个向量除以自身的范数，就能得到标准正交基。标准正交性还取决于所选的内积。在通常的点积下标准正交的坐标向量，在另一种内积下未必仍然标准正交。(ocw.mit.edu)
坐标、长度与投影
本文采用复内积对第一个变量具有线性性的约定。若 ({e_1,\ldots,e_n}) 是一组标准正交基，则 [ x=\sum_{i=1}^{n}\langle x,e_i\rangle e_i. ] 因此，沿每个基方向的系数都可以直接通过内积求得，无须求解线性方程组。若采用内积对第二个变量具有线性性的另一种约定，则该系数写为 (\langle e_i,x\rangle)。(ocw.mit.edu)
记 (c_i=\langle x,e_i\rangle)，则有 [ |x|^2=\sum_{i=1}^{n}|c_i|^2. ] 这是勾股定理在内积空间中的形式：各个彼此正交的分量对长度平方的贡献可以独立相加。对于向量 (x) 和 (y)，它们的内积同样等于对应坐标乘积之和，其中 (y) 的坐标需取复共轭。(ocw.mit.edu)
若这些向量构成的是线性子空间 (W) 的一组基，则相应的正交投影公式为 [ P_Wx=\sum_i\langle x,e_i\rangle e_i. ] 残差 (x-P_Wx) 属于 (W) 的正交补。在 (W) 的所有向量中，(P_Wx) 是唯一使到 (x) 的距离最小的向量，因此这一公式在最小二乘逼近中具有核心作用。(mit.edu)
示例与矩阵表示
在通常的点积下，标准坐标向量构成 (\mathbb R^n) 的一组标准正交基。(\mathbb R^2) 中的另一组例子是 [ e_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,1),\qquad e_2=\frac{1}{\sqrt2}(-1,1). ] 它们的点积为零，且长度都为一。相对于这组基，((a,b)) 的坐标为 ((a+b)/\sqrt2) 和 ((b-a)/\sqrt2)，这说明标准正交基并不唯一。(openlearninglibrary.mit.edu)
将各基向量作为列排成矩阵 (Q)，标准正交性就可以表示为 [ Q^Q=I, ] 其中 (Q^) 表示共轭转置，(I) 是单位矩阵。对于实矩阵，(Q^) 就是其矩阵转置 (Q^{\mathsf T})。若 (Q) 为方阵，则在实数情形下它是正交矩阵，在复数情形下则是酉矩阵；其逆矩阵为 (Q^)。此时，坐标转换为 (c=Q^*x)，而向量重构为 (x=Qc)。(openlearninglibrary.mit.edu)
对于列向量标准正交的非方阵 (Q)，这些列向量只能张成所在坐标空间的一个子空间。此时，(QQ^*) 不一定是单位矩阵，而是到该子空间的投影矩阵。(openlearninglibrary.mit.edu)
构造方法
格拉姆—施密特正交化可从一个有序的线性无关向量组 (v_1,\ldots,v_n) 构造出标准正交基。在第 (k) 步，先去除沿此前已构造方向的分量，再将剩余向量归一化： [ u_k=v_k-\sum_{j<k}\langle v_k,e_j\rangle e_j, \qquad e_k=\frac{u_k}{|u_k|}. ] 线性无关性保证了 (u_k\ne0)。所得向量组的每个前段，都与输入向量组中对应的前段张成相同的子空间。(ocw.mit.edu)
将这一构造应用于矩阵 (A) 的线性无关列向量，即可得到QR分解 (A=QR)，其中 (Q) 的列向量标准正交，(R) 为上三角矩阵。这个三角因子记录了原始列向量在新基下的表示。(openlearninglibrary.mit.edu)
无限维空间中的基
在希尔伯特空间中，标准正交基是一个完备的标准正交系，即其闭线性包等于整个空间。这与代数基（也称哈梅尔基）不同，后者只允许有限线性组合。对于可数的标准正交基，有 [ x=\sum_{k=1}^{\infty}\langle x,e_k\rangle e_k, ] 其中级数在范数意义下收敛。帕塞瓦尔恒等式指出， [ |x|^2=\sum_{k=1}^{\infty}|\langle x,e_k\rangle|^2. ] 当这些向量是函数时，仅有范数收敛并不能保证逐点收敛。(oshalit.net.technion.ac.il)
傅里叶级数所依托的一个基本例子是 (L^2([-\pi,\pi])) 的实三角函数基： [ \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\qquad \frac{\cos(kx)}{\sqrt\pi},\qquad \frac{\sin(kx)}{\sqrt\pi}, \quad k=1,2,\ldots. ] 正交性由两个函数乘积的积分来判定。归一化因子使每个基函数的范数都为一，而完备性则保证平方可积函数能够通过其傅里叶系数在 (L^2) 意义下重构。(math.mit.edu)