谱定理是线性代数和泛函分析中的一类结果，描述了何时可以将一个线性映射表示为彼此独立、相互正交的谱分量。在有限维情形下，它刻画了哪些算符具有由特征向量组成的标准正交基。在无限维希尔伯特空间中，相应的表示通常采用谱积分，而非特征向量展开。其主要版本涉及自伴算符，以及复空间上的正规算符。(linear.axler.net)
有限维形式
对于满足 (A^{T}=A) 的实对称矩阵 (A)，谱定理断言：它的所有特征值均为实数，并且可以选取其特征向量组成一组标准正交基。等价地， [ A=QDQ^{T}, ] 其中 (Q) 是正交矩阵，(D) 是对角元为实数的对角矩阵。(Q) 的各列是特征向量，(D) 中相应的对角元则是这些向量对应的特征值。这比通常的矩阵对角化更强，因为后者不要求基变换由标准正交基构成。(math.berkeley.edu)
对于复矩阵，用 (A^{}) 表示共轭转置。正规算符满足 [ A^{}A=AA^{}. ] 复数域上的谱定理断言，(A) 是正规矩阵，当且仅当存在酉矩阵 (U) 和复对角矩阵 (D)，使得 [ A=UDU^{}. ] 自伴算符满足 (A=A^{*})，在矩阵术语中也称为厄米矩阵；它的特征值均为实数。酉矩阵也是正规矩阵，但它们的特征值位于单位圆上，不一定在实轴上。(linear.axler.net)
标量取自实数域还是复数域，是一个重要区别。实正规矩阵未必能在实数域上对角化：平面旋转的角度若不是 (\pi) 的整数倍，就不存在实特征向量。在实数域上，能够正交对角化的充要条件是自伴性，而不仅仅是正规性。(linear.axler.net)
正交谱分解
按不同的特征值将特征向量分组，可以得到不依赖于基的形式： [ A=\sum_{\lambda}\lambda P_{\lambda}. ] 这里，(P_{\lambda}) 是到 (\lambda) 所对应的特征空间上的正交投影。这些投影满足 [ P_{\lambda}P_{\mu}=0\quad(\lambda\ne\mu), \qquad \sum_{\lambda}P_{\lambda}=I. ] 因此，整个空间分解为相互正交的子空间，而算符在每个子空间上的作用都只是乘以一个标量。虽然重特征值对应的特征空间中，单个特征向量的选取并不唯一，但特征空间及其投影是唯一确定的。(math.berkeley.edu)
实对称矩阵谱定理的一种标准证明采用对维数的归纳法。找到一个实单位特征向量 (v) 后，由对称性可知，它的正交补在 (A) 的作用下保持不变：若 (w) 与 (v) 正交，则 [ \langle Aw,v\rangle=\langle w,Av\rangle=0. ] (A) 在这个正交补上的限制仍然是对称的。重复这一论证，就能构造出所需的标准正交特征基。因此，内积是谱定理的关键，而不仅仅是一种辅助性的记号选择。(math.berkeley.edu)
紧算符
对于紧算符中的自伴算符，有一个与有限维情形尤为直接对应的无限维版本。在可分希尔伯特空间上，这样的算符具有由特征向量组成的标准正交基，其中包括其核的一组基。每个非零谱值都是有限重数的特征值，而零是非零特征值唯一可能的聚点。(ocw.mit.edu)
使用归一化的特征向量 (e_j)，算符的作用可以写为 [ Tx=\sum_j\lambda_j\langle x,e_j\rangle e_j, ] 这里约定内积对第一个变量是线性的。该级数在希尔伯特空间的范数意义下收敛。紧性使这一分解类似于有限维的对角矩阵，但零可以属于谱而不是特征值——例如，当无穷多个非零特征值趋于零，而算符的核仅含零向量时。(ocw.mit.edu)
谱测度与连续谱
一般的自伴算符未必有任何特征向量。它们的谱可能包含连续部分，因此通常的特征投影求和不足以表示它们。一般形式的谱定理使用投影值测度 (E)，将实轴上的博雷尔子集映射为正交投影，其可列可加性按强算符意义理解： [ T=\int_{\mathbb R}\lambda,dE(\lambda). ] 对于有界正规算符，也有类似的表示，即在其复数谱上对复坐标进行积分。(pi.math.cornell.edu)
一个简单的例子可以展示测度论在其中的作用。在 (L^{2}([0,1])) 上，令 [ (Tf)(x)=xf(x). ] 这个有界自伴算符的谱为 ([0,1])，但它没有非零特征函数：对应于 (\lambda) 的特征函数必须在单点 (x=\lambda) 之外处处为零，而这个单点集的勒贝格测度为零。它的谱投影是乘以示性函数的算符： [ (E(B)f)(x)=\mathbf 1_B(x)f(x). ] 因此，谱分解一般并不意味着分解为实际的特征向量。(math.mit.edu)
对于无界自伴算符，谱积分还确定了它的定义域。令 (\mu_x(B)=\langle E(B)x,x\rangle)，则 [ D(T)=\left{x:\int_{\mathbb R}\lambda^{2},d\mu_x(\lambda)<\infty\right}. ] 自伴性还要求算符与其伴随算符具有相同的定义域；仅有对称性不足以保证该定理成立。(pi.math.cornell.edu)
函数演算与应用
谱表示定义了一种函数演算： [ f(T)=\int f(\lambda),dE(\lambda). ] 在有限维情形下，它成为 (\sum_\lambda f(\lambda)P_\lambda)。这为算符的幂、指数以及正算符的平方根提供了统一的框架。(math.mit.edu)
在主成分分析中，协方差矩阵是对称半正定矩阵。其相互正交的特征向量给出主方向，特征值则给出相应的方差。在量子力学中，自伴的可观测量具有谱测度；对于归一化态 (\psi)，玻恩规则给出测量结果落在 (B) 中的概率为 (\langle E(B)\psi,\psi\rangle)。(theory.stanford.edu)
与谱定理相关的奇异值分解适用于任意矩形矩阵。与谱对角化不同，它通常在定义域和值域中使用不同的标准正交基，而且其奇异值是非负数，而不是一般意义上的特征值。(axler.net)