矩阵对角化 · aiwiki.page

矩阵对角化是线性代数中的一种方法，将方矩阵表示为

A=PDP^{-1},

其中 $P$ 可逆， $D$ 是对角矩阵，即所有非对角元均为零。等价地， $P^{-1}AP=D$ 。 $P$ 的各列是 $A$ 的特征向量，而 $D$ 中对应的对角元是这些向量的特征值。能够作如此表示的矩阵称为可对角化矩阵。这一方法通过选取合适的坐标，将可能相互耦合的变换化为彼此独立的数乘。(math.purdue.edu)

定义与几何意义

设 $A$ 是域（数学） $F$ 上的一个 $n\times n$ 矩阵。在 $F$ 上可对角化，要求 $P$ 和 $D$ 的元素都属于 $F$ 。定义中的等式等价于

AP=PD.

令 $P=[v_1\ \cdots\ v_n]$ ， $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ ，便得到每一列都满足 $Av_i=\lambda_i v_i$ 。由于 $P$ 可逆，这些向量构成 $F^n$ 的一组基。(people.math.osu.edu)

从几何角度看，有限维向量空间上的线性映射可对角化，是指它有一组完全由特征向量组成的基。若 $x=Py$ ，则 $Ax=PDy$ ：在特征向量坐标 $y$ 下，每个坐标都乘以对应的特征值。这是一种相似变换，只是用另一组基表示同一个映射，而非改变映射本身。(math.purdue.edu)

可对角化的判据

核心判据是： $A$ 必须有 $n$ 个线性无关的特征向量。对于特征值 $\lambda$ ，其特征空间为

E_\lambda=\ker(A-\lambda I),

其中 $I$ 表示单位矩阵，核就是零空间。这一空间的维数称为该特征值的几何重数。该特征值的代数重数则是它作为特征多项式

\chi_A(t)=\det(tI-A)

的根的重数。几何重数不会超过代数重数。(ximera.osu.edu)

矩阵在 $F$ 上可对角化，当且仅当其特征多项式在 $F$ 上能够分解为一次因子的乘积，且每个特征值的几何重数都等于代数重数。因此，在 $F$ 中有 $n$ 个互异的特征值，便能保证矩阵可对角化；但特征值互异并非必要条件：单位矩阵只有一个特征值，却本身就是对角矩阵。另一方面，仅有可逆性并不能保证矩阵可对角化。(textbooks.math.gatech.edu)

所选的域至关重要。例如，

R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

的特征值为 $i$ 和 $-i$ 。因此，它在复数域上可对角化，但在实数域上不可对角化，因为它没有实特征向量。然而，即便在复数域上，矩阵也可能没有足够多的线性无关特征向量。(people.math.osu.edu)

构造方法与示例

在精确运算中，可以先求出 $\chi_A(t)$ 的根，再针对每个特征值求解 $(A-\lambda I)v=0$ ，最后从所得的特征向量中选出一组基，从而构造对角化。这些齐次线性方程组可以用高斯消元法求解。选出的向量依次构成 $P$ 的各列，其特征值按相同顺序填入 $D$ 的对角线。如果总共能选出的线性无关特征向量少于 $n$ 个，就无法对角化。(textbooks.math.gatech.edu)

下面是一个可以直接验证的例子：

A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix},\qquad P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}.

列向量 $(1,0)^T$ 和 $(1,1)^T$ 对应的特征值分别为 $2$ 和 $3$ ，通过矩阵乘法即可验证 $AP=PD$ 。

相比之下，

J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}

的特征多项式是 $(t-1)^2$ ，但其特征空间仅由形如 $(a,0)^T$ 的向量组成。它的几何重数为一，而非二，因此不可对角化。没有特征向量基的矩阵称为亏损矩阵。(textbooks.math.gatech.edu)

正交对角化与酉对角化

对于一些重要的矩阵类别，谱定理给出了更强的结论。每个实对称矩阵都有一组由特征向量组成的标准正交基，并且可以写成

A=QDQ^T,

其中 $Q$ 是正交矩阵， $D$ 是实对角矩阵。因此， $Q$ 的转置 $Q^T$ 就是它的逆矩阵。(ocw.mit.edu)

在复数域上，矩阵能够通过酉矩阵对角化，当且仅当它是正规矩阵，即满足 $A^*A=AA^*$ ，其中 $A^*$ 是共轭转置。此时 $A=UDU^*$ 。满足 $A=A^*$ 的厄米矩阵是正规矩阵，且其特征值均为实数。一般的可对角化条件较弱，并不要求特征向量相互正交。(ocw.mit.edu)

应用与数值计算中的注意事项

对角化可以简化矩阵的重复相乘：

A^k=PD^kP^{-1},\qquad D^k=\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k),

其中 $k$ 为非负整数。这将矩阵的幂运算转化为标量的幂运算。(textbooks.math.gatech.edu)

它也可以简化矩阵指数：

e^{tA}=P\operatorname{diag}(e^{t\lambda_1},\ldots,e^{t\lambda_n})P^{-1}.

对于常系数微分方程 $x'(t)=Ax(t)$ ，作变量替换 $x=Py$ ，即可得到彼此独立的方程 $y_i'=\lambda_i y_i$ 。(webhome.auburn.edu) 在主成分分析中，对协方差矩阵进行对角化，可以找出数据变异的各个正交方向；其特征值给出相应方向上的方差。(cs357.cs.illinois.edu)

在数值线性代数中，理论上可对角化并不意味着计算结果一定可靠。近乎线性相关的特征向量可能使 $P$ 成为病态矩阵，从而增加计算对扰动的敏感性。通用特征值求解程序通常先利用酉变换或正交变换计算舒尔分解，再在需要时求出特征向量。与对角化不同，每个复方阵都存在复舒尔分解，其中的因子是上三角矩阵，而不一定是对角矩阵。(netlib.org)