代数基本定理是一条定理，指出每个非常数的一元多项式，只要其系数为复数，就至少有一个复数根。等价地，一个次数为 (n\geq1) 的多项式，若按重数计数，就恰有 (n) 个复数根。用抽象代数的语言来说，这意味着复数构成一个代数闭域。该定理确立了复数足以求解所有一元多项式方程，但并未给出这些方程的求根公式。(jmilne.org)
定理陈述与因式分解
设 [ p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0, \qquad a_n\neq0,\quad n\geq1, ] 其中所有系数都属于 (\mathbb C)。该定理断言，存在某个 (\alpha\in\mathbb C)，使得 (p(\alpha)=0)。有了这个根，便可由因式定理得到 [ p(z)=(z-\alpha)q(z), ] 其中 (q) 的次数为 (n-1)。反复应用这一论证，即得 [ p(z)=a_n\prod_{j=1}^{n}(z-\alpha_j). ] 因此，根的存在性便意味着多项式可以完全分解为一次因式的乘积。当首项系数固定时，除因式的排列顺序外，这一分解是唯一的。(jmilne.org)
若 ((z-\alpha)^m) 整除 (p(z))，而 ((z-\alpha)^{m+1}) 不整除 (p(z))，则称根 (\alpha) 的重数为 (m)。例如， [ z^3-3z+2=(z-1)^2(z+2) ] 有两个不同的根，但按重数计数则有三个根：(1,1,-2)。非零常数多项式没有根，因此不在定理的适用范围内；零多项式在每一点都取零值，也没有可供上述根数结论适用的次数。(linear.axler.net)
复系数与实系数
该定理针对的是域（数学） (\mathbb C)，而非任意系数域。在实数范围内，(z^2+1) 没有根；在 (\mathbb C) 上，它可以分解为 ((z-i)(z+i))。多项式的系数也可以是复数，不必都是实数。(jmilne.org)
对于实系数多项式，由复共轭可得 [ p(\overline z)=\overline{p(z)}. ] 因此，非实根总是成共轭对出现，且重数相同。将每一对共轭根对应的因式相乘，就得到一个实系数二次因式： [ (z-\alpha)(z-\overline\alpha) =z^2-2\operatorname{Re}(\alpha)z+|\alpha|^2. ] 所以，每个非常数实系数多项式都能在 (\mathbb R) 上分解为一次因式与不可约二次因式的乘积。特别地，每个奇数次实系数多项式都有一个实数根。(math.ucla.edu)
证明方法
尽管名为代数基本定理，它却将代数与数学分析联系起来。常见的数学证明不仅依靠多项式的形式运算，还会用到实数或复数的其他性质。不同的证明方法凸显了这种联系的不同方面。(math.ucla.edu)
一种简短的复分析证明使用刘维尔定理，即有界整函数必为常数。假设 (p) 没有根，则 (1/p) 在复平面上处处复可微。当 (|z|) 很大时，首项起主导作用，因此 (|p(z)|\to\infty)，从而 (1/p(z)\to0)。在任意固定的闭圆盘上，(1/p) 是连续函数，由极值定理可知它有界。因此，它在整个复平面上有界。刘维尔定理于是说明 (1/p) 为常数，这与 (p) 非常数的假设矛盾。(users.math.msu.edu)
另一种证明考察 (|p(z)|) 的最小值。它在无穷远处的增长保证了全局最小值能够取到。如果最小值在 (z_0) 处取得，而 (p(z_0)\neq0)，那么利用 (p(z_0+w)) 的展开式中常数项之后的第一个非零项，就可以选取一个很小的位移 (w)，使模减小。这与最小性矛盾。还有一种代数方法使用伽罗瓦理论，并结合正实数有平方根、奇数次实系数多项式有实数根这两个事实。(linear.axler.net)
历史发展
18 世纪，达朗贝尔、欧拉和拉格朗日等人曾尝试证明这一定理。他们的论证推动了定理的发展，却依赖一些未经充分论证的假设。卡尔·弗里德里希·高斯在 1799 年的博士论文中提出了一种新证明。他通过考察多项式实部和虚部为零的曲线，来处理实系数多项式。尽管影响深远，这个证明在这些曲线的行为方面存在一处重大缺口。不加限定地称它为第一个完全严格的证明，会掩盖这一问题。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
高斯随后又在 1816 年和 1849 年发表了其他证明。阿尔冈于 1806 年发表了一项论证，并在 1814 年进一步阐述，为最小模方法以及复系数情形的定理表述作出了贡献。这段历史体现的是对复数、连续性和存在性证明的认识逐步澄清的过程，而非一次毫无争议的发现。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
推论与局限
在线性代数中，一个 (n\times n) 复矩阵有一个 (n) 次特征多项式。它的根就是矩阵的特征值与特征向量中的特征值，因此每个满足 (n\geq1) 的这类矩阵都有特征值。这并不意味着矩阵可以进行矩阵对角化：重复的特征值未必能提供足够多的线性无关特征向量。(linear.axler.net)
根的存在性与根能否用根式表示是两回事。阿贝尔–鲁菲尼定理指出，五次及以上的多项式方程不存在通用的根式求解公式，这与它们存在复数根并不矛盾。代数基本定理本身也没有给出寻找这些根的计算步骤。它所断言的是根的存在性和多项式的因式分解，而不是一种通用的显式求解公式。(jmilne.org)