代数学是数学的主要分支之一，研究以符号表示的量及其组合规则。初等代数是对算术的推广：它用字母代表未知数或一般的数，从而把数量关系表述为方程并加以求解。抽象代数（又称近世代数）研究的则是结构本身，例如群、环、域和向量空间，而不关心参与运算的究竟是什么对象。代数学与几何学、分析学并列为数学的三大支柱，也是绝大多数科学、工程和计算机科学领域的工作语言。
词源
“代数”的西文名称源于阿拉伯语 al-jabr，意为“还原”或“补全”。这个词出现在波斯学者穆罕默德·本·穆萨·花拉子米约于公元820年写成的著作《还原与对消计算概要》（Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala）的书名中。该书系统地讨论了一次方程和二次方程的解法。在日常阿拉伯语中，jabr 原指外科上的骨折复位。这个词后来进入中世纪拉丁语，写作 algebra。“算法”（algorithm）一词也源自花拉子米的名字。
早期历史
代数式的解题方法远比“代数”这个词古老。将近四千年前，美索不达米亚的书吏就已经能解相当于二次方程的问题，所用的是逐步计算的数值程序。古埃及的数学纸草书中载有求未知“量”的一次问题。成书于汉朝的中国典籍《九章算术》用一种实质上等同于高斯消元法的方法求解线性方程组，并且已经能处理负数。
在古希腊，数量通常以几何方式处理，即视为长度和面积。约公元3世纪，亚历山大的丢番图写成《算术》（Arithmetica），书中引入了表示未知数及其幂次的缩写符号，并探求方程的有理数解。这部著作后来启发了数论的发展。印度数学家，尤其是7世纪的婆罗摩笈多，给出了负数和零的运算规则，以及二次方程的一般解法。
伊斯兰黄金时代
阿拔斯王朝时期，花拉子米在书中阐述了一次和二次方程的解法、某些几何图形面积和体积的计算方法，以及如何通过“还原”与“对消”来化简方程。他的论述完全是文字式的，不使用任何符号：方程全部用文字写出，并借助几何图形加以论证。由于他以初等的形式讲授代数，并且把代数当作一门独立的学问来研究，史学家常将他视为代数学科的奠基人。后世学者在此基础上继续发展：阿布·卡米勒处理了无理系数，卡拉吉发展了多项式代数，欧玛尔·海亚姆则对三次方程进行分类，并利用圆锥曲线的交点以几何方法求解。
欧洲的符号代数
阿拉伯代数经由拉丁文译本和斐波那契的《计算之书》（Liber Abaci，1202年）传入欧洲。文艺复兴时期，意大利数学家西皮奥内·德尔·费罗、尼科洛·塔尔塔利亚和吉罗拉莫·卡尔达诺找到了三次方程的一般求根公式，卡尔达诺在《大术》（Ars Magna，1545年）中公开发表了这一方法。洛多维科·费拉里随后解决了四次方程。运用这些公式的过程，促使数学家逐渐接受负数和复数。
16世纪末以前，代数主要是求解特定类型方程的各种技巧。弗朗索瓦·韦达（1540—1603）在1591年的著作中改变了这一局面：他首创用字母同时表示未知数和系数，使人们得以一次性研究一整类方程。勒内·笛卡尔在《几何学》（La Géométrie，1637年）中采用了接近现代形式的记号，并通过坐标把代数与几何结合起来。这种解析几何为微积分的诞生奠定了基础。
方程论与抽象代数的兴起
18世纪至19世纪初，代数学主要围绕两个问题展开。第一个问题是：是否每个多项式方程都有根？代数基本定理指出，每个实系数或复系数多项式都有与其次数相同个数的实根或复根（重根按重数计）。一般认为，第一个证明是卡尔·弗里德里希·高斯在1799年的博士论文中给出的，不过按现代标准，高斯的证明存在漏洞。
第二个问题是：高次方程能否用只含根式的公式求解？阿贝尔–鲁菲尼定理指出，系数任意的五次及五次以上一般多项式方程没有根式解。保罗·鲁菲尼于1799年给出了一个不完整的证明，尼尔斯·亨里克·阿贝尔则于1824年给出了证明。埃瓦里斯特·伽罗瓦更进一步，运用群论方法给出了判定方程能否用根式求解的准则。这便是伽罗瓦理论和群论的起源。
19世纪，研究重心从解方程转向探究方程背后的结构。乔治·布尔创立了逻辑代数，即今天所说的布尔代数。哈密顿的四元数表明乘法不一定满足交换律，凯莱则发展了矩阵代数。戴德金、克罗内克和希尔伯特发展了代数数论和理想理论。抽象代数在本质上是19世纪的产物，但直到20世纪最初几十年才成为一门独立而繁荣的学科，这在很大程度上归功于埃米·诺特的开创性工作。埃米·诺特的公理化方法经范德瓦尔登的教科书《近世代数》（Moderne Algebra，1930—1931年）广为传播，塑造了这门学科至今的教学方式。
主要分支
应用
代数广泛应用于一切定量研究。在物理学中，群论用来描述对称性：通过诺特定理，对称性与守恒定律联系起来；群表示则用于对基本粒子进行分类。线性代数是量子力学、统计学、计算机图形学和机器学习的核心工具，其中机器学习依赖大规模矩阵运算。有限域和数论代数是现代密码学和纠错码的基础。布尔代数是计算机数字电路设计的理论基础。计算机代数系统能够自动处理符号表达式，延续了花拉子米最早提出的基于规则的方法。
参考来源
- Timeline of algebraen.wikipedia.org
- Algebra: from Al-Khwarizmi to modern algebratangente-mag.com
- Muhammad Al-Khwarizmimathigon.org
- History of algebra - Wikiquoteen.wikiquote.org
- Al-Jabren.wikipedia.org
- Historylink.springer.com
- A History of Abstract Algebra - Jeremy Grayscribd.com
- graphsearch.epfl.chgraphsearch.epfl.ch
- Nasehpour - History of Algebranasehpour.com
- kleiner-history of abstract algebra_2007_Birkhauser.pdfmathscitech.org