埃米·诺特（1882年3月23日—1935年4月14日）是德国数学家，对抽象代数和数学物理作出了奠基性贡献。她的研究推动了对环和理想的结构性研究，而诺特定理则将变分问题的连续对称性与守恒定律联系起来。尽管女性在大学任职受到限制，她仍发展了自己的学术事业；在纳粹统治下被哥廷根大学解职后，她前往美国，在那里度过了职业生涯的最后阶段。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
早年生活与教育
诺特出生于巴伐利亚的埃尔朗根，来自一个犹太裔家庭。她的父亲马克斯·诺特是埃尔朗根大学的数学教授。她最初于1900年取得了英语和法语教师资格，但随后选择学习数学。由于当时女性尚不能享有与男性同等的入学条件，她起初只能在取得各位教授许可后旁听大学课程。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
1903年通过大学入学考试后，她在哥廷根旁听了一个学期的课程。随着入学规定的改变，她于1904年得以正式进入埃尔朗根大学。1907年，她在保罗·戈尔丹的指导下获得博士学位，博士论文研究的是不变量理论，即研究在特定变换下保持不变的表达式的理论。此后，她继续在埃尔朗根从事研究，但没有获得大学的正式职位。(deutsche-biographie.de)
哥廷根时期与学术任职
1915年，大卫·希尔伯特和菲利克斯·克莱因邀请诺特前往哥廷根。大学内部对任用女性的反对，使她无法立即取得独立授课所需的资格。因此，她的一些课程以希尔伯特的名义开设。1919年，她取得大学授课资格，成为一名编外讲师（Privatdozent），即具备独立授课资格的大学教师。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
1922年，她获授编外教授头衔，但并未获得正式教授席位所附带的职位和薪酬。1923年，她才获得一项有报酬的教学任务。这些任职安排表明，她日益提升的数学界地位与她所能获得的有限制度支持之间存在明显差距。1932年，她与埃米尔·阿廷共同获得阿克曼—托伊布纳纪念奖。(spektrum.de)
对代数的贡献
诺特的研究从围绕特定表达式展开的大量计算，转向一般结构及其相互关系。她对环（数学）、理想（环论）和模（数学）的研究，成为现代代数发展的核心内容。她的一篇重要论文是1921年发表的《环中的理想理论》（Idealtheorie in Ringbereichen）。(celebratio.org)
诺特环与有限性
在交换环的情形下，诺特环是指每个理想都可由有限个元素生成的环。等价地说，其中每一条理想升链
最终都会稳定下来：从某个序号起，之后的所有理想都相等。这是对环的理想结构施加的一种有限性条件，并不要求环本身只包含有限个元素。域（数学）上的有限变元多项式环是重要的例子。(stacks.math.columbia.edu)
在1921年的研究中，诺特为满足这一升链条件的交换环建立了一般的准素分解定理。它推广了伊曼纽尔·拉斯克此前关于域上多项式环的结果。由此形成的拉斯克—诺特定理将理想表示为有限个准素理想的交，从而为此前仅在较为受限的情形下处理的问题提供了结构性的研究方法。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
非交换代数
在后期研究中，诺特也研究了乘法不一定满足交换律的代数。她将涉及模、理想和表示论的方法联系起来，并与理查德·布劳尔和赫尔穆特·哈塞合作。他们的合作成果包括1932年发表的一篇关于代数理论的重要论文。(celebratio.org)
对称性与守恒定律
诺特1918年的论文《不变变分问题》（Invariante Variationsprobleme）将变分法与连续变换群结合起来。论文包含两个不同的定理，而不只是通常与她的名字联系在一起的那条关于对称性与守恒关系的结论。(web.stanford.edu)
第一个定理讨论的是在依赖有限个参数的连续群作用下保持不变的变分问题。它将这类对称性与相应欧拉—拉格朗日方程的解所满足的守恒定律联系起来。在常见的力学应用中，时间平移对称性对应能量守恒，空间平移对称性对应动量守恒，旋转对称性对应角动量守恒。这里所说的对称性，是通过作用量表述的变分问题的对称性，而不只是物体外观上的对称性。(web.stanford.edu)
第二个定理讨论的是依赖任意函数及其导数的变换群。它给出了欧拉—拉格朗日表达式之间的微分恒等式。诺特将这一框架应用于广义相对论，阐明了广义坐标不变性与其守恒定律形式之间的关系。因此，这两个定理揭示了对称性的不同数学后果：在有限参数的情形下产生守恒关系，在任意函数的情形下产生方程之间的恒等式。(web.stanford.edu)
流亡与晚年
1933年，纳粹政权排斥犹太学者，诺特因此被哥廷根大学解职。她迁往宾夕法尼亚州，在布林莫尔学院担任客座教授，所获经费支持包括洛克菲勒基金会的一笔资助。她还定期在位于普林斯顿的普林斯顿高等研究院举办非正式讲座。(celebratio.org)
在布林莫尔学院，她继续从事研究并教授高等数学，其中包括以B. L. 范德瓦尔登的《现代代数》（Moderne Algebra）为基础的研讨班。1935年4月14日，她在一次手术后去世，享年53岁。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
教学与影响
诺特的影响并不限于署有她名字的出版物。同事和学生将她的思想融入各自的研究，而范德瓦尔登的《现代代数》也帮助传播了她在哥廷根授课期间发展起来的方法。她对一般概念和结构关系的重视，成为代数研究的重要组成部分。(celebratio.org)
如今，对称性定理和诺特有限性条件仍以她的名字命名。人们还以她的名字设立了奖学金、讲座和研究计划，以示纪念，其中包括德国研究基金会于1998年设立的埃米·诺特计划。(deutsche-biographie.de)
参考来源
- Emmy Noether (1882–1935) — Biography — MacTutor History of Mathematicsmathshistory.st-andrews.ac.uk
- Deutsche Biographie — Noether, Emmydeutsche-biographie.de
- Celebratio Mathematica — Noether — Biographycelebratio.org
- Noether, (Amalie) Emmy — Lexikon der Mathematikspektrum.de
- Idealtheorie in Ringbereichenzenodo.org
- Section 10.31: Noetherian rings — The Stacks projectstacks.math.columbia.edu
- An Introduction to Noetherian Ringsweb.stanford.edu
- Invariant Variation Problemsweb.stanford.edu